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주요 내용
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동영상 대본

여기에 y=x^2의 그래프의 일부가 있습니다 저는 또다른 회전체의 부피를 구하고자 합니다 하지만 이번에는 x축을 중심으로 회전하지 않고, y축을 중심으로 회전하려 합니다 그리고 0에서부터 시작하지 않고 y=1과 y=4 사이에서 시작하려 합니다 먼저 여기에서부터 그래프를 그립니다 이 곡선을 살펴볼 것 입니다. 저번 동영상과는 다르게 이번에는 x축을 중심으로 회전시키지 않고 y축을 중심으로 회전시킬 것입니다. 이 방향으로 회전시키겠죠. 그럼 어떤 모양이 나올까요? 이걸 한 번 시각적으로 나타내 봅시다 기본적인 모양은 아마 내부를 볼 수 있다면 이렇게 생겼을 것입니다 그리고 여기, 가장 윗부분은 이렇게 생겼을겁니다 이제 사이의 부분을 봅시다 이곳을 한 번 살펴봅시다. 너무 아랫쪽은 말고요 약간 그림자를 추가하겠습니다 이건 이렇게 생겼을 겁니다 이걸 시각적으로 알아볼 수 있도록 분리해서 그려봅시다 다른 각도에서 살펴보겠습니다. y축이 뒤쪽에서 튀어나온다고 보면 이렇게 보일 것입니다 조금 작게 그리겠습니다 이렇게요 그리고 바로 여기서 자릅시다 이렇게 보일 것입니다. 이 모양을 뭐라고 불러야 할지 저도 잘 모르겠습니다. 하지만 여러분이 이걸 이해하리라 생각합니다 노란색으로 똑같이 그림자를 넣어보겠습니다 이 도형을 시각화하는 것이 아마 가장 어려운 부분일 것 입니다. 하지만 보다시피 그렇게 나쁘진 않네요 그래서... 이렇게 생겼을 것입니다. 이건 트러플(송로버섯)같이 생겼네요 뒤집인 트러플같아요 이제 여기에 y축을 그려보겠습니다 우리가 어디에 중심을 뒀는지 보기 위해서죠 이 예시에선 y축이 이 방향으로 튀어나옵니다 그리고 바로 여기를 향해 아래로 내려가죠 그리고 x축은 이렇게 그려집니다 전 이 도형을 기울였습니다(왼쪽->오른쪽) 다른 각도에서 본 모습을 보기 위해 약간 기울였죠 여기(왼쪽)의 윗면은 여기(오른쪽)의 윗면입니다 이건 여러분에게 이것이 어떻게 생겼는지에 대한 아이디어를 줍니다 하지만 우린 아직 이 도형의 부피를 어떻게 구해야할지 생각을 하지 않았습니다 우리가 무엇을 할 수 있을까요? dx의 폭을 가지는 원판을 만들 수 없다면 dy의 폭을 가지는 원판을 만들면 어떨까요? 그것에 대하여 조금 생각해 봅시다 특정 y값에서 원판을 만드는 것에 대해 한 번 생각해 봅시다 특정 y값을 생각해보죠 그리고 바로 여기에 원판을 만듭시다 그 지점의 모양과 같은 반지름을 가진 원판을 말입니다 그럼 이게 우리의 원판이죠 바로 여기에 우리의 원판이 있습니다 그리고 이건 폭을 가집니다 폭 dx를 가지지 않고, 폭 dy를 가진다고 해봅시다 따라서 바로 여기의 폭은 dy입니다 이 원판의 부피를 y에 대한 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까요? 여러분들이 상상하시다시피, 우린 지금부터 정적분을 할 것이고 그리고 그 정적분은 y에 대한 정적분입니다 그럼 이것의 부피는 무엇일까요? 우리가 저번 영상에서 한 것처럼 우린 각 원판들의 윗면의 넓이를 알아야 합니다 또는 이 동전의 면이라고 할 수도 있겠죠 이것의 면적을 구하려면 pi × r^2이므로 여기의 반지름을 구할 수 있다면 우린 면적을 구할 수 있습니다 그럼 반지름은 무엇일까요? 반지름을 y에 대한 식으로 생각해 보면 우린 이 방정식(y=x^2)을 y에 대한 식으로 풀어야 합니다 y=x^2이라고 나타내지 말고 우린 양변에 주제곱근을 적용할 수 있고, 우린 루트y=x라고 나타낼 수 있습니다 그리고 이것(루트y)은 음수가 아닌 y에 대해서만 정의되지만 그건 괜찮습니다, 왜냐하면 이 도형은 양의 y축에 있기 때문이죠 따라서 우린 이 그래프를 x=루트y라고 나타낼 수 있습니다 또한 우리는 이쪽(양의 x축)에 대해 생각하죠 이쪽(왼쪽)은 신경쓰지 않습니다 따라서 우린 오른쪽 면만 생각합니다 우린 이 그래프를 y에 대한 x의 함수로 나타내었습니다 그럼 이 곳의 반지름은 무엇일까요? 이 반지름은 y에 대한 함수가 될 것입니다 반지름은 루트y가 되겠죠 루트y를 반지름으로 가질 것입니다 따라서 이건 y에 대한 함수가 되겠죠 y=x^2은 x에 대한 f 함수이고 그래프는 y에 대한 f 함수라고 생각해서 혼란스러워하지 않았으면 합니다 이건 그저 y에 대한 함수에요 이걸 y에 대한 g 함수라고 부릅시다 이건 루트y가 되겠죠 면적은 pi × r^2과 같습니다. 이것은 이 원판의 면적이 반지름의 제곱에 pi를 곱한 것과 같다는 뜻이죠 우리의 반지름은 루트y입니다 따라서 이 면적은 pi 곱하기 루트y의 제곱인데 이건 pi × y와 같죠 이제, 우리는 부피를 구하고 싶으므로 우린 단지 면적을 폭만큼, 즉 dy만큼 곱해주면 됩니다 따라서 각 원판들의 부피는 pi 곱하기 y 곱하기 dy가 됩니다 이 식이 원판 하나의 부피를 구하는 식입니다. 이제, 우리는 이 도형 전체의 부피를 원하므로 우린 단지 이 원판들을 전부 더해주면 됩니다 1과 4 사이의 모든 y값에 대해서요 그럼 한 번 해봅시다 y=1부터 y=4까지에 대해서 정적분을 만듭시다 다시 말하지만, 정적분은 굉장히 특별한 방식의 덧셈입니다 우린 이 모든 것(pi × y × dy)을 더할 겁니다 하지만 우린 dy에 대해 극한을 적용할 겁니다 작게, 더 작게 말이죠 그리고 우린 더 많은 수의 원판을 가지고 있다고 가정할 것입니다. 확실히, 만약 dy가 무한히 작아진다면 우리는 무한한 수의 원판을 가질 겁니다 따라서 이 합의 결과는 단지 부피에 가까워지지 않습니다 이 자체가 극한에서는 확실하게 부피가 되는거죠 이제 이 도형 전체의 부피를 구하려면 우린 그저 y에 대한 정적분을 풀면 되는 것이죠 그럼 그건 어떻게 해야 할까요? 이 식은 무엇과 같아질까요? 일단, 우리는 pi를 밖으로 꺼낼 수 있습니다 그 결과는 pi 곱하기 'y에 대한 적분식'이 됩니다 그 값은 2분의 y^2이고, 범위는 1부터 4까지가 됩니다. 결과는 pi 곱하기, 만약 4에 대해서 계산하면 2분의 16을 얻을 수 있겠죠 이걸 이렇게 한 번 써 보겠습니다. (4^2)/2-(1^2)/2 그 결과는 pi곱하기-- 16/2는 8이고, 1/2를 빼죠 그럼 16/2-1/2이므로 15/2와 같다는 걸 알 수 있습니다 따라서 이것은 15/2 pi와 같습니다 다르게 생각하면 7과 1/2 × pi입니다. 하지만 이게 좀 더 깔끔하죠(15/2 pi) 이제 끝났습니다 우린 x축이 아니라 y축을 중심으로 회전한 회전체의 부피를 구했습니다, 아주 재미있는 방법이죠.