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동영상 대본

우리는 넓이를 계산하기 위해 정적분을 이용했습니다 이제 이 방식을 호의 길이를 구하는 것에 이용하는 방법을 함께 알아보겠습니다 이 것이 무슨 의미일까요? 함수를 그린 그래프에서 지금 점을 찍은 위치에서 시작을 하고 위쪽 이 점까지 가겠습니다 이 선은 직선이 아닙니다 우리는 이미 직선의 길이를 어떻게 계산할지 알 고 있습니다 대신, 우리는 이 호의 길이를 알고 싶습니다 이 선을 따른 호의 길이를 구한다면 과연 그 길이는 어떻게 될까요? 이것이 제가 이야기 하는 호의 길이 입니다 이는 그래프를 따라 x가 a에서 b까지의 곡선의 길이와 동일하다고 생각하여도 됩니다 이를 어떻게 계산할까요? 적분에서 배운것을 활용하면 이렇게 변화하는 것을 볼 때면 이를 무한히 작은 단위로 나누는 것입니다 바로 선과 직사각형으로 나누는 것이지요 그리고 이 무한히 작은 부분들을 무한이 더하는 것입니다 그럼 이 곡선을 분리해 보겠습니다 무한히 작은 호로 나누어 봅시다 이 무한히 작은 길이를 ds라 부르겠습니다 눈으로 볼 수 있고 쉽게 이해하기 위해 그림은 훨씬 크게 그리겠습니다 이 선을 ds로 쪼갠 이유는 무엇일까요? 이것은 ds입니다 그리고 다른 색으로 다른 무한히 작은 호 길이의 변화를 표시하겠습니다 아 모든 ds값들을 더하면 저는 전체 호의 길이를 구할 수 있습니다 이 값은 모둔 ds의 합을 적분시킨 값이 됩니다 이 구간의 값을 적분시킵니다 이 식과 같이 적을 수 있습니다 하지만 이는 지금 당장 도움이 되지 않습니다 이는 호의 차이를 표시한 식이며 이를 dx와 dy로 표현하는 방법을 우리는 알 고 있습니다 그럼 dx와 dy의 값으로 다시 표현해 보겠습니다 가능한 작은 값으로 쪼갠다면 거의 직선에 가까울 것입니다 대략적인 직사각형의 넓이를 계산했던 방법 말이지요 무한이 많은 무한히 작은 직사각형을 이용해서 직사각형이 아닌 넓이를 구하는 것이지요 직사각형이 아닌 넓이요 동일한 방법으로 우리는 호의 길이를 무한히 작고 무한지 작은 길이의 직선으로 계산해서 결국 전체 호의 길이를 계산하는 것이지요 이제 이 선에 집중해 보겠습니다. dx와 dy로 표현해 보겠습니다 이 가로길이는 dx입니다 x의 무한히 작은 변화량 값이며 세로 길이는 dy입니다 이를 활용하여 다시 한 번 이 길이를 계산해 보겠습니다 개념적으로 이 호의 길이가 어떻게 구해질 수 있는지 생각해보겠습니다 이 삼각형에서 피타고라스의 정리를 활용해서 ds의 길이를 구할 수 있습니다 이는 dx의 제곱과 dy의 제곱을 더한 값이 ds의 제곱과 같습니다 또한, ds는 dx제곱과 dy의 제곱을 더한 값의 제곱근과 같다고 할 수 있습니다 ds적분의 식을 다시 적어보겠습니다 이 식을 다시 적어보면 ds의 적분이며 이를 정리하면 √(dx^2+dy^2) 을 적분시킨 값과 같습니다 이 값은 피타고라스의 이론을 이용한 것입니다 여기에서 재미있는 것은 dx와 dy의 제곱의 값들로 표현할 수 있다는 것입니다 이 식을 어떻게 간단하게 표현할 수 있을까요? 아니면 적어도 우리가 적분을 할 수 있는 식으로 표현해 봅시다 이 식에서 dx제곱근을 꺼내도록 하겠습니다 이를 다시 적어보겠습니다 다음의 식과 같이 됩니다 √dx^2{1+(dy/dx)^2}의 적분 값 이 두 식은 정확이 같습니다 dx^2을 다시 괄호안이 식에 곱하면 정확히 동일한 식이되겠지요? 이번엔 dx를 루트기호(√)밖으로 꺼내겠습니다 식은 다음과 같습니다 흰색으로 그리겠습니다 √1+(dy/dx)^2 의 적분값으로 정리됩니다 이는 매우 흥미롭습니다 dy/dx가 그래프를 나타내는 함수의 적분값이기 때문이지요 (dy/dx)에 제곱을 표시하겠습니다 dx를 루트기호(√)밖으로 빼내면 dx가 됩니다 우리는 정해진 구간 안에서 이 값을 구할 수 있습니다 a에서 b사이 구간의 값을 구해보겠습니다 dx로 적분을 시키겠습니다 x를 중심으로 적분을 시키겠습니다 x가 a에서 b까지의 구간이며 그럼 관호안의 식과 dx를 적분해 보겠습니다 이 것은 바로 호를 나타내는 함수이지요 약간 복잡해보이는데요 다음영상에서 정확히 어떻게 적분을 입하는지 배우겠습니다 약간 다른표기법으로 작성하고 싶다면 이는 다음의 식과 같이 쓸 수 있습니다 x가 a에서 b까지의 구간에서 {√1+f'(x)^2}dx 자 그럼 f(x)의 함수를 알고 있다면 x를 기준으로 미분을 시키고 1을 더하고 그 값의 제곱근을 구해 그 값을 x를 기준으로 적분시켜 a에서 b구간 값을 구하면 되며 다음 영상에서 이어가겠습니다