미분 방정식의 해 확인하기

미분방정식을 작성해 봅시다 dy/dx = 4y/x 입니다 dy/dx = 4y/x 입니다 이번 시간에는 미분방정식의 해가 값이나 값의 집합이 아닌 함수나 함수의 집합인 경우를 살펴볼 것입니다 하지만 문제를 풀기 전에 하지만 문제를 풀기 전에 특정 방정식이 특정 함수가 이 미분방정식의 해가 되는지 확인해 봅시다 예를 들어 y = 4x가 있다면 이 미분방정식의 해인가요? 강의를 멈추고 풀어보세요 이것이 해인지 확인하기 위해서는 dy/dx = 4y/x 를 풀어야 합니다 dy/dx = 4y/x 를 풀어야 합니다 dy/dx = 4y/x 를 풀어야 합니다 모든 것을 x에 대하여 나타내어 이 식이 나오는지 확인해 보겠습니다 dy/dx를 풀어봅시다 dy/dx를 풀어봅시다 4가 되네요 여러 번 본 내용이죠 확인해보고 싶은 것은 dy/dx 4y 대신 4(4x)로 하겠습니다 4y 대신 4(4x)로 하겠습니다 모든 것에 x에 대한 식을 넣을 것입니다 y = 4x 이므로 4y 대신 4(4x)로 할 수 있습니다 분모는 x입니다 맞나요? x는 상쇄되고 4 = 16 이 나오는데 완전히 틀립니다 따라서 이 식은 해가 아닙니다 따라서 이 식은 해가 아닙니다 따라서 이 식은 해가 아닙니다 다른 방정식을 살펴보죠 y = x⁴은 어떤가요? 강의를 멈추고 기존 미분방정식의 해가 되는지 확인해 보세요 같은 방식으로 합니다 dy/dx는 무엇일까요? 지수법칙을 이용하면 4x³이 됩니다 확인해볼 것은 dy/dx인 4x³이 dy/dx인 4x³이 4y y 대신 x에 대하여 나타내면 4·x⁴이 되죠 x⁴ = y 이기 때문이죠 x로 나눈 식과 같은지 입니다 x⁴/x = x³ 입니다 x⁴/x = x³ 입니다 따라서 4x³ = 4x³ 이 나옵니다 따라서 4x³ = 4x³ 이 나옵니다 따라서 이 식이 해입니다 따라서 이 식이 해입니다 유일한 해라고 할 수는 없지만 이 미분방정식의 하나의 해입니다 다른 미분방정식을 보겠습니다 다른 방식으로 적겠습니다 다른 방식으로 적겠습니다 f'(x) = f(x) - x f'(x) = f(x) - x 먼저 확인할 함수는 f(x) = 2x 입니다 이는 미분방정식의 해가 되나요? 강의를 멈추고 스스로 풀어보세요 풀어보자면 f'(x)는 무엇이죠? f'(x) = 2 입니다 등식을 확인해봅니다 f'(x) = 2 이고 f(x) = 2x 2x - x 따라서 2 = x 가 됩니다 누군가는 이렇게 이야기하겠죠 'x에 대하여 풀었습니다' 하지만 이것은 해가 아니라는 것을 말해줍니다 이는 함수의 정의역 상의 어떤 x에 대해서도 성립해야 하기 때문입니다 틀렸다는 것을 표시하는 X를 적습니다 이는 해가 아닙니다 다시 명확히 하자면 어떤 함수가 이 미분방정식의 해가 되려면 함수에 어떤 x를 넣어도 성립해야 합니다 다른 것을 찾아보죠 f(x) = x+1 이 있습니다 강의를 멈추고 이것이 미분방정식의 해가 되는지 확인합니다 과정은 똑같습니다 f'(x) = 1 입니다 따라서 f'(x) = 1이고 따라서 f'(x) = 1이고 f(x) = x 이므로 x+1 - x 는 무엇일까요? 여기서는 x가 무엇이든 상관없이 방정식이 성립합니다 따라서 이 식이 해입니다 따라서 이 식이 해입니다 좀 더 해보죠 공간 확보를 위해 스크롤을 내리겠습니다 대신 기존 미분방정식은 보여야겠죠 빨간색으로 해볼게요 f(x) = e^x + x + 1을 확인해 봅시다 f(x) = e^x + x + 1을 확인해 봅시다 미분방정식의 해가 되는지 말이죠 강의를 멈추고 스스로 풀어보세요 좋아요 도함수를 구해봅시다 f'(x) e^x의 x에 대한 도함수는 e^x 이고 이는 항상 놀랍습니다 e^x + 1 x의 도함수는 0입니다 e^x + 1 x의 도함수는 0입니다 이 식을 원래 미분방정식에 넣어봅시다 f'(x) = e^x + 1 f'(x) = e^x + 1 f(x) = e^x + x + 1 여기서 x를 빼면 x가 상쇄되고 결국 같아집니다 이 식도 해입니다 이 식도 해입니다 이상입니다