예제: 방정식에서 경사장 얻기

어떤 방향장이 미분방정식 dy/dx=x-y 의 방향장일까요? 이 영상을 일시정지하고 스스로 해결할 수 있는지 확인해봅시다 방향장에 대해 생각하는 가장 쉬운 방법은 제가 만약 이 방향장을 손으로 그려야 한다면, 저는 x와 y 순서쌍을 추출할 것입니다 그리고 각각의 점에서 어떤 도함수를 가지는지 알아낼 것입니다 우리가 이미 방향장 후보들을 그려놨기 때문에 우리가 여기서 할 수 있는 것은 우리가 생각하기에 특정 점들에서 방향장이 어때야 하는지 알아보고 그리고 이 도표, 그래프 혹은 방향장 들 중 무엇이 이를 실제로 보여주는지 알아내는 것입니다 자 이제, 여기 작은 표를 만들어보겠습니다 저는 이제 x, y, 그리고 y를 x에 대해 미분한 것을 표에 적겠습니다 그리고 우리는 이것을 여러 점들에 대해 도함수를 구해볼 것입니다 한 번 생각해봅시다 여기 이 점에서의 경우를 생각해봅시다 x가 2이고 y가 2일 때입니다 x가 2이고 y가 2일때 dy/dx가 2 - 2가 될 것입니다 따라서 이것은 0이 됩니다 이와 함께, 여기 보면, 방향장 위 이 기울기는 0처럼 보이지 않습니다 이것은 기울기가 음수처럼 보입니다 그래서 이것은 정답에서 제외할 수 있습니다 여기 있는 이 기울기는 양수처럼 보입니다 이것은 명백히 0이 아니기 때문에 정답에서 제외하겠습니다 이 기울기 또한 양수처럼 보입니다 따라서 이것도 정답에서 제외할 수 있습니다 (2,2)에서 이 기울기는 0처럼 보입니다 따라서 이것이 정답이 되겠습니다 (2,2)에서 이 기울기는 1보다 커 보입니다 따라서 이것도 제외할 수 있습니다 여기 있는 이 보기를 정답으로 추론하기 쉬웠습니다 이중 정확한 방향장이 존재한다면 바로 이것이 될 것입니다 그러나 우리는 계속해서 이것이 그 방향장이라는 걸 확인해봅시다 자 이제 생각해봅시다 x=1이고 x와 y가 같을 때 도함수는 0입니다 그리고 여기서 또 확인할 수 있는 것이 (4,4)일 때 도함수가 0이 됩니다 (6,6)일 때 도함수가 0이 됩니다 (-2,-2)에서 도함수는 0이 됩니다 좋습니다 이것이 올바른 방향장입니다 그리고 우리는 다른 점들을 확인해볼 수 있습니다 x=4이고, y=2일 때를 생각해봅시다 이 점에서의 도함수는 4 - 2가 되어야 합니다 즉 2가 됩니다 따라서 x=4, y=2일 때 우리는 방향장이 여기 2처럼 보이는 기울기를 나타냄을 볼 수 있습니다 그리고 만약 다른 방식으로 보자면 예를 들어 x=-4이고 y=-2일 때가 있습니다 (-4, -2) -4 - (-2)는 -2가 될 것입니다 그리고 여기서 볼 수 있습니다 (-4, -2), 여기서 기울기를 볼 수 있습니다 보기 조금 어렵지만, 기울기가 -2처럼 보입니다 단지 한 번 더 처음에 했던 점 (2,2)만 이용하더라도 우리는 이것이 정답인 보기라는 것을 추론할 수 있습니다 그러나 이는 단지 처음 고른 보기가 정확한지 확인하는 과정이었습니다