예제: 경사장에서 방정식 얻기

여러분께 미분방정식이 주어졌습니다 y를 x에 대하여 미분한 도함수는 (1/6)y×(4-y)와 같습니다 그리고 주어진 좌표에 표시한 것은 기울기 필드입니다 주어진 미분방정식으로부터 주어진 기울기 필드가 맞게 그려진 것인지 확인할 수 있습니다 주어진 미분방정식으로부터 값들을 표를 그려 알아보도록 합시다 몇 가지 점에 대하여 확인해봅시다 x값, y값, dy/dx값에 대한 표를 만듭시다 처음으로 확인해 볼 점은 (1, 1)입니다 x＝1, y＝1인 경우에 미분방정식에 대입하면 (1/6)×(4-1) 이므로 3/6입니다 그 값은 1/2를 의미하고, 기울기가 맞게 그려짐을 확인할 수 있습니다 만약 해가 그 점을 지나간다면 그 점에서의 기울기가 1/2임을 표현한 것입니다 미분방정식에서 볼 수 있듯이 결과값은 y값에만 관계되어 있으므로 y＝1일 때, x가 가지는 값에 관계없이 값은 일정합니다 y＝1일 때 기울기는 1/2로 일정하므로 x＝1+(1/2), y＝1일 때도 기울기가 여전히 1/2로 같습니다 다시말하면 y＝1인 경우 주어진 모든 샘플 점들은 기울기가 1/2라는 의미입니다 이것을 보고 알 수 있는 것은 기울기 필드는 일관성이 있습니다 주어진 미분방정식을 다른 점에도 대입하고 시각화해봄으로써 더 자세히 알아봅시다 한 번 흥미로운 점에 대해서 공부해봅시다 흠... 이 점이 아니라 화면에서 찍은 점을 보면 이 점은 (1,6)입니다 주어진 미분방정식을 보면 미분방정식은 x값의 영향을 받지 않습니다 y가 무엇인지가 중요합니다 기울기를 구해보면 6/6(4-6)이므로 -2가 나옵니다 -2의 기울기를 가지고 화면에서 보이시는 기울기를 가지게 됩니다 y가 6인 다른 점들도 -2의 기울기를 가지고 기울기 필드에서 확인할 수 있습니다. 화면은 주어진 미분방정식의 기울기 영역을 나타냅니다 이 점을 상기하시면서 해주시길 바랍니다 주어진 미분방정식의 해를 시각화하기 위해 화면에 보이는 기울기 필드를 사용해봅시다 화면에서 보이는 미분방정식의 해를 바탕으로 해봅시다 제가 화면에 찍은 점의 해를 구해볼까요? 이 점의 해는 무엇일 것 같나요? 대략적으로 추측해보면 이 점은 아마도 화면에서 보이는 기울기가 될 것입니다 또한 y가 증가함에 따라 그래프가 화면에서 보이시는 것처럼 됩니다 다시해보면, 계속 y를 증가시키다보면 y가 2가 될 때 기울기가 y가 2일때 다른 x 좌표들의 기울기와 평행하게 됩니다 y가 증가함에 따라 y가 4에 가까워 질수록 기울기가 감소하게 됩니다 지금까지 이은 점들을 보면 제가 보기엔 y가 0에 가까워 질수록 기울기가 다시 감소하게 됩니다 주어진 미분방정식을 보면 y가 0이 될때 미분방정식의 해가 0이 됩니다 그러므로 dy/dx가 0이 됩니다 합리적인 판단은 아마도 그래프가 이렇게 나타나겠죠 이 점을 지나는 그래프는 화면과 같이 나타날 것입니다 이 점에서 찍은 그래프는 어떻게 그려질 까요? 이 그래프는 아마 이전에 그렸던 그래프와 같은 방법으로 똑같이 그려질 것입니다 화면에서 보시는 것처럼 될 것 입니다 느낌이 오죠? 미분방정식의 정확한 해를 몰라도 그래프가 어떻게 그려질지에 대해서 느낌이 오실 것입니다 미분방정식의 해를 만족하는 이 기울기 영역에서 흥미로운 부분은 해가 y가 0과 4 사이일 때 해가 y가 0과 4 사이일 때 화면처럼 그래프가 그려지게 됩니다 만약 y 값이 4보다 크거나 0보다 작거나 혹은 y값이 0 또는 4일때는 어떻게 될까요? 예를 들어 만약 이 점을 지나는 해는 어떻게 될까요? 이 점은 기울기 영역이 기울기가 0이라는 것을 알려줍니다 y값이 변하지 않는 한 y값이 변하지 않습니다 y값이 변하지 않는 한 y값이 변하지 않습니다 y값이 4로 일정합니다 기울기는 0으로 일정합니다 y가 4일때의 해를 주어진 미분방정식으로 이미 구했습니다 y가 4일 때의 미분방정식의 해입니다 y가 4일 때 여러분은 기울기가 0이라는 것을 확인할 수 있습니다 y가 4일 때 미분방정식의 우변이 0입니다 y가 4일때 x에 대해 미분한 값은 0입니다 그것은 미분방정식의 해가 됩니다 y가 0일때도 마찬가지입니다 이 또한 미분방정식의 해입니다 다른 점에 대해서 생각해볼까요? 이 점을 포함하면 어떻게 될까요? 다른 색깔로 표시해볼께요 여러분들이 볼 수 있듯이 이 점의 해는 화면에서처럼 보이게 되죠 저는 기울기 영역을 이용하고 있습니다. 기울기가 어떻게 나타날지 알기 위해서 해를 찾아감에 따라 x=0부터 x=5 사이의 해는 보이시는 것처럼 됩니다 이것은 또다른 실마리가 됩니다 (0,-1/2)을 포함하는 그래프를 그려보면 보이시는 것처럼 됩니다 보이시는 것처럼 됩니다 여러분들이 기울기 영역이 흥미로운 이유를 만족시켜줄 것 입니다 여러분이 다른 미분방정식을 가지고 있다면 dx/dy가 미지수로 있고 여러 x, y 미지수들을 포함하면 기울기 영역을 그릴 수 있습니다 기울기에 대한 해를 구하고 이제 기울기 영역을 사용합니다 개념적이고 시각적인 이해를 얻습니다 미분방정식의 해가 어떻게 나타날 지 주어진 점을 해가 포함하고 있는