예제: 분리 가능한 미분방정식

이번 시간에는 분리할 수 있는 미분방정식의 일반해를 구하는 연습을 할 것입니다 x에 대한 y의 도함수인 dy/dx는 e^x / y 입니다 이 미분방정식의 일반해를 구해보세요 엄청한 힌트를 드리죠 이것은 분리할 수 있는 미분방정식입니다 좋습니다 분리할 수 있는 미분방정식에서 우선 한쪽에 y와 dy만 두고 다른 쪽에 x와 dx만 둡니다 이 미분들을 변수로 다루어 보겠습니다 수학적으로 논리가 허술하지만요 수학적으로 논리가 허술하지만요 그래도 해볼게요 양변에 y를 곱하면 양변에 y를 곱하면 어떻게 되나요? y · dy/dx = e^x 입니다 y · dy/dx = e^x 입니다 그리고 양변에 dx를 곱합니다 상쇄되네요 남은 식은 y·dy = e^x·dx 입니다 양변을 적분합니다 해보죠 ∫ y dy는 무엇일까요? 지수법칙을 역으로 이용합니다 지수가 증가하므로 y는 1차식이고 부정적분을 취하면 y²이 됩니다 그리고 증가된 지수로 나누어줍니다 재밌는 것은 e^x의 부정적분은 e^x이고 도함수도 e^x라는 것입니다 따라서 e^x + C 입니다 따라서 e^x + C 입니다 이렇게 해도 되지만 사실은 이 식은 명백한 함수는 아닙니다 y는 x의 명백한 함수가 아닙니다 y = ±√(e^x + C) / 2 이지만 y = ±√(e^x + C) / 2 이지만 이 식이 분리할 수 있는 미분방정식을 만족하는 일반적인 관계를 잘 나타낸 식입니다 다른 예제를 풀어볼게요 dy/dx = y²sinx가 있습니다 dy/dx = y²sinx가 있습니다 dy/dx = y²sinx가 있습니다 강의를 멈추고 일반해를 구해보세요 이번에도 y와 x를 구분하겠습니다 양변에 y^(-2)를 곱하면 양변에 y^(-2)를 곱하면 이 둘은 상쇄되고 양변에 dx를 곱하면 이 둘은 상쇄됩니다 따라서 정리하면 y^(-2)dy = sin(x)dx 입니다 이제 양변을 적분하려고 합니다 y^(-2)의 부정적분은 무엇일까요? 이번에도 지수법칙을 역으로 이용합니다 지수가 증가하므로 y^(-1)이 되고 새로운 지수로 나누어야 하므로 새로운 지수로 나누어야 하므로 -1로 나눕니다 그냥 마이너스 기호를 붙이면 되겠네요 이 식은 다음과 같습니다 sinx의 부정적분은 무엇일까요? 알아챘다시피 적분 안과 밖에 마이너스를 붙입니다 -sinx의 부정적분은 cosx 입니다 따라서 전체 식은 -cosx가 됩니다 다르게 나타내자면 양변에 -1을 곱하여 둘 다 양수로 만들고 따라서 y^(-1) = cosx 가 됩니다 C를 더해주는 것을 잊지 마세요 C를 더해주는 것을 잊지 마세요 혹은 양변에 역수를 취합니다 y를 구하면 y = 1/cosx + C 일반해가 나옵니다 이상입니다 이상하게도 참 재밌었습니다