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주요 내용

예제: 분리 가능한 방정식 구별하기

분리 가능한 방정식은 dy/dx=f(x)g(y)의 꼴로 쓸 수 있습니다. 여러가지 미분방정식이 분리 가능한지 분석해 봅시다.

동영상 대본

다음 중 분리할 수 있는 미분방정식은 무엇일까요? 강의를 멈추고 어떤 것이 분리할 수 있는지 구해보세요 구하는 방법은 도함수에 대하여 풀고 도함수를 풀 때 dy/dx가 어떤 y의 함수와 다른 어떤 x의 함수의 곱으로 나타난다면 이는 분리할 수 있는 것입니다 이렇게 나타낼 수 있기 때문이죠 양변을 g(y)로 나누면 1/g(y) dy = h(x)dx 1/g(y) dy = h(x)dx 1/g(y) dy = h(x)dx 1/g(y) dy = h(x)dx 첫 번째 방정식에서 양변을 g(y)로 나누고 양변에 dx를 곱하여 두 번째 방정식이 되었습니다 이제 양변을 적분할 수 있는 분리 가능한 방정식이 만들어졌습니다 하지만 핵심은 도함수를 구하고 그것을 y의 함수와 x의 함수의 곱으로 된 형식에 넣을 수 있는지 확인합니다 첫 번째 보기를 봅시다 양변에서 y를 빼면 dy/dx를 구하려는 것입니다 dy/dx를 구하려는 것입니다 x와 y' 대신 dy/dx로 적겠습니다 y' 대신 dy/dx로 적겠습니다 x dy/dx = 3- y 양변에서 y를 뺐습니다 양변을 x로 나누면 dy/dx = (3-y)·1/x dy/dx = (3-y)·1/x dy/dx = (3-y)·1/x dy/dx = (3-y)·1/x 도함수를 y의 함수와 x의 함수의 곱으로 나타낼 수 있다는 것이 명백하네요 따라서 분리 가능합니다 양변에 dx를 곱하고 3-y 로 나눌 수 있습니다 3-y 로 나눌 수 있습니다 1/(3-y) dy = 1/x dx 1/(3-y) dy = 1/x dx 따라서 이 보기는 분리 가능합니다 두 번째 보기를 해보죠 같은 방식으로 합니다 살짝 다른 색으로 할게요 헷갈리지 않기 위해서 말이죠 두 번째 보기입니다 양변에 2x와 2y를 빼면 양변에 2x와 2y를 빼면 두 식을 한번에 빼보죠 두 식을 한번에 빼보죠 양변에 2x를 빼고 양변에 2y를 뺀 뒤 양변에 2y를 뺀 뒤 양변에 1을 더합니다 양변에 1을 더합니다 양변에 1을 더합니다 결과는 어떻게 될까요? 이들은 상쇄되고 이들은 상쇄되고 이들은 상쇄되고 2dy/dx = -2x -2y +1 입니다 2dy/dx = -2x -2y +1 입니다 2dy/dx = -2x -2y +1 입니다 2dy/dx = -2x -2y +1 입니다 양변을 2로 나누면 dy/dx = -x -y + 1/2 dy/dx = -x -y + 1/2 dy/dx = -x -y + 1/2 dy/dx = -x -y + 1/2 dy/dx = -x -y + 1/2 dy/dx = -x -y + 1/2 dy/dx = -x -y + 1/2 x의 함수와 y의 함수의 곱으로 어떻게 나타내야 할지 감이 잡히지 않네요 왠지 분리가 안될 것 같습니다 왠지 분리가 안될 것 같습니다 이 식을 x의 함수와 y의 함수의 곱으로 어떻게 나타낼지 모르겠습니다 따라서 이 식은 분리할 수 없는 식이라고 하겠습니다 다음 보기는 x의 함수와 y의 함수의 곱으로 주어져 있네요 따라서 명백하게 분리 가능한 식입니다 분리하는 것을 보여드리자면 분리하는 것을 보여드리자면 이는 dy/dx이고 양변에 dx를 곱하고 이 식을 양변에서 나누면 1/(y²+y) dy = (x²+x) dx 1/(y²+y) dy = (x²+x) dx 확실히 분리 가능하네요 좋습니다 마지막 보기입니다 흥미로워 보이네요 도함수를 분배하였군요 도함수를 분배하였군요 도함수로 다시 묶으면 dy/dx를 풀 수 있습니다 이 식을 빼내면 dy/dx (x+y) = x dy/dx (x+y) = x dy/dx (x+y) = x dy/dx (x+y) = x 양변을 x+y로 나누면 dy/dx = x / x+y 가 됩니다 dy/dx = x / x+y 가 됩니다 대수적인 기법을 이용하여 x와 y를 분리시켜 x의 함수와 y의 함수의 곱으로 나타낼 수 있나요? 그렇지 않아 보이네요 따라서 이는 분리할 수 없습니다 정답은 첫 번째와 세 번째 보기 뿐입니다