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주요 내용

분리 가능한 방정식 구별하기

변수를 분리해 미분방정식을 풀 때는 f(y)dy=g(x)dx의 꼴로 쓸 수 있어야 하며, f(y)x를, g(x)y를 가지고 있지 않아야 합니다.
모든 미분방정식이 그렇지는 않습니다. 예를 들어 dydx=x+y는 어떻게 하던 f(y)dy=g(x)dx의 꼴로 만들 수 없습니다.
사실 변수를 분리할 때 제일 어러운 점은 언제 이 방법이 적용 가능한지 구분하는 것입니다. 변수를 분리해 풀 수 있는 미분방정식은 분리가능한 방정식이라고 합니다.
방정식이 분리가 가능한지 어떻게 알 수 있을까요? 가장 흔한 종류의 방정식은 dydxf(y)g(x)의 곱이나 몫과 같은 경우입니다.
예를 들어, dydx=g(x)f(y)f(y)dx로 곱하면 f(y)dy=g(x)dx로 바꿀 수 있습니다.
또한, dydx=f(y)g(x)f(y)로 나누고 dx로 곱하면 1f(y)dy=g(x)dx로 나타낼 수 있습니다.
몇 가지 예를 들면 이렇습니다:
dydx=sin(y)f(y)ln(x)g(x)1sin(y)dy=ln(x)dx
dydx=x35xg(x)eyf(y)eydy=(x35x)dx
dydx=yf(y)cos(x)g(x)1ydy=1cos(x)dx
다른 방정식들은 dydx=f(y)g(x)의 꼴로 만들려면 약간의 조작이 필요합니다. 예를 들어 dydx=xy7x를 원하는 꼴로 만들려면 우변을 인수분해 해야 합니다:
dydx=xy7x=xg(x)(y7)f(y)
연습문제 1
이 미분방정식은 변수의 분리를 통해 풀 수 있나요?
dydx=3yx2y
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연습문제 2
이 미분방정식은 변수의 분리를 통해 풀 수 있나요?
dydx=4x+5y+4
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연습문제 3
이 미분방정식은 변수의 분리를 통해 풀 수 있나요?
dydx=2yx
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