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주요 내용

분리 가능한 방정식 구별하기

변수를 분리해 미분방정식을 풀 때는 f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x의 꼴로 쓸 수 있어야 하며, f, left parenthesis, y, right parenthesisx를, g, left parenthesis, x, right parenthesisy를 가지고 있지 않아야 합니다.
모든 미분방정식이 그렇지는 않습니다. 예를 들어 start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, plus, y는 어떻게 하던 f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x의 꼴로 만들 수 없습니다.
사실 변수를 분리할 때 제일 어러운 점은 언제 이 방법이 적용 가능한지 구분하는 것입니다. 변수를 분리해 풀 수 있는 미분방정식은 분리가능한 방정식이라고 합니다.
방정식이 분리가 가능한지 어떻게 알 수 있을까요? 가장 흔한 종류의 방정식은 start fraction, d, y, divided by, d, x, end fractionf, left parenthesis, y, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesis의 곱이나 몫과 같은 경우입니다.
예를 들어, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fractionstart color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337cd, x로 곱하면 start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x로 바꿀 수 있습니다.
또한, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accdstart color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c로 나누고 d, x로 곱하면 start fraction, 1, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x로 나타낼 수 있습니다.
몇 가지 예를 들면 이렇습니다:
dydx=sin(y)f(y)ln(x)g(x)1sin(y)dy=ln(x)dx\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\overbrace{\maroonD{\sin(y)}}^{\maroonD{f(y)}}\overbrace{\blueD{\ln(x)}}^{\blueD{g(x)}}\\\\\dfrac{1}{\sin(y)}dy&=\ln(x)\,dx\\\\\end{aligned}
dydx=x35xg(x)eyf(y)eydy=(x35x)dx\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{\overbrace{\blueD{x^3-5x}}^{\blueD{g(x)}}}{\underbrace{\maroonD{e^y}}_{\maroonD{f(y)}}}\\\\e^y\,dy&=(x^3-5x)\,dx\\\\\end{aligned}
dydx=yf(y)cos(x)g(x)1ydy=1cos(x)dx\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{\overbrace{\maroonD{\sqrt y}}^{\maroonD{f(y)}}}{\underbrace{\blueD{\cos(x)}}_{\blueD{g(x)}}}\\\\\dfrac{1}{\sqrt y}dy&=\dfrac{1}{\cos(x)}dx\end{aligned}
다른 방정식들은 start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 꼴로 만들려면 약간의 조작이 필요합니다. 예를 들어 start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x를 원하는 꼴로 만들려면 우변을 인수분해 해야 합니다:
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x, equals, start overbrace, start color #11accd, x, end color #11accd, end overbrace, start superscript, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, end superscript, start overbrace, left parenthesis, start color #ca337c, y, minus, 7, end color #ca337c, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end superscript
연습문제 1
이 미분방정식은 변수의 분리를 통해 풀 수 있나요?
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, 3, y, minus, x, squared, y
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연습문제 2
이 미분방정식은 변수의 분리를 통해 풀 수 있나요?
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, 4, x, plus, 5, y, plus, 4
정답을 한 개 고르세요:
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연습문제 3
이 미분방정식은 변수의 분리를 통해 풀 수 있나요?
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, 2, start superscript, y, minus, x, end superscript
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