분리 가능한 방정식 구별하기

변수를 분리해 미분방정식을 풀 때는 $f(y)dy=g(x)dx$‍의 꼴로 쓸 수 있어야 하며, $f(y)$‍는 $x$‍를, $g(x)$‍는 $y$‍를 가지고 있지 않아야 합니다.

모든 미분방정식이 그렇지는 않습니다. 예를 들어 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x+y$‍는 어떻게 하던 $f(y)dy=g(x)dx$‍의 꼴로 만들 수 없습니다.

사실 변수를 분리할 때 제일 어러운 점은 언제 이 방법이 적용 가능한지 구분하는 것입니다. 변수를 분리해 풀 수 있는 미분방정식은 분리가능한 방정식이라고 합니다.

방정식이 분리가 가능한지 어떻게 알 수 있을까요? 가장 흔한 종류의 방정식은 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍가 $f(y)$‍와 $g(x)$‍의 곱이나 몫과 같은 경우입니다.

예를 들어, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{g(x)}{f(y)}}$‍는 $f(y)$‍와 $dx$‍로 곱하면 $f(y)dy=g(x)dx$‍로 바꿀 수 있습니다.

또한, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍는 $f(y)$‍로 나누고 $dx$‍로 곱하면 ${\displaystyle \frac{1}{f(y)}}dy=g(x)dx$‍로 나타낼 수 있습니다.

몇 가지 예를 들면 이렇습니다:

다른 방정식들은 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍의 꼴로 만들려면 약간의 조작이 필요합니다. 예를 들어 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=xy-7x$‍를 원하는 꼴로 만들려면 우변을 인수분해 해야 합니다: