분리 가능한 방정식 구별하기

변수를 분리해 미분방정식을 풀 때는 $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x의 꼴로 쓸 수 있어야 하며, $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis는 $x$x를, $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis는 $y$y를 가지고 있지 않아야 합니다.

모든 미분방정식이 그렇지는 않습니다. 예를 들어 $\dfrac{dy}{dx}=x+y$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, plus, y는 어떻게 하던 $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x의 꼴로 만들 수 없습니다.

사실 변수를 분리할 때 제일 어러운 점은 언제 이 방법이 적용 가능한지 구분하는 것입니다. 변수를 분리해 풀 수 있는 미분방정식은 분리가능한 방정식이라고 합니다.

방정식이 분리가 가능한지 어떻게 알 수 있을까요? 가장 흔한 종류의 방정식은 $\dfrac{dy}{dx}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction가 $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis와 $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis의 곱이나 몫과 같은 경우입니다.

예를 들어, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\blueD{g(x)}}{\maroonD{f(y)}}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction는 $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c와 $dx$d, x로 곱하면 $\maroonD{f(y)}dy=\blueD{g(x)}dx$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x로 바꿀 수 있습니다.

또한, $\dfrac{dy}{dx}=\maroonD{f(y)}\blueD{g(x)}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd는 $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c로 나누고 $dx$d, x로 곱하면 $\dfrac{1}{\maroonD{f(y)}}\,dy=\blueD{g(x)}dx$start fraction, 1, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x로 나타낼 수 있습니다.

몇 가지 예를 들면 이렇습니다:

다른 방정식들은 $\dfrac{dy}{dx}=f(y)g(x)$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 꼴로 만들려면 약간의 조작이 필요합니다. 예를 들어 $\dfrac{dy}{dx}=xy-7x$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x를 원하는 꼴로 만들려면 우변을 인수분해 해야 합니다: