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주요 내용

분리 가능한 미분방정식

변수 분리는 미분 방정식을 푸는 흔한 방법 중 하나입니다. 어떻게 사용하고 왜 이렇게 부르는지 알아봅시다.
변수 분리는 미분방정식을 풀 때 사용하는 방법 중 하나입니다. 미분방정식 start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction를 풀며 이를 살펴봅시다:
(1)dydx=2x3y2(2)3y2dydx=2x3y2 로 곱합니다(3)3y2dy=2xdxdx로 곱합니다(4)3y2dy=2xdx적분을 적용합니다(5)y3=x2+C적분합니다(6)y=x2+C3y 를 가둡니다\begin{aligned} (1)&&\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{2x}{3y^2} \\\\ (2)&&3y^2\cdot\dfrac{dy}{dx}&=2x&\gray{3y^2\text{ 로 곱합니다}} \\\\ (3)&&3y^2\,dy&=2x\,dx&\gray{dx\text{로 곱합니다}} \\\\ (4)&&\displaystyle\int 3y^2\,dy&=\displaystyle\int 2x\,dx&\gray{\text{적분을 적용합니다}} \\\\ (5)&&y^3&=x^2+C&\gray{\text{적분합니다}} \\\\ (6)&&y&=\sqrt[3]{x^2+C}&\gray{y\text{ 를 가둡니다}} \end{aligned}

이 해를 검토해 봅시다.

left parenthesis, 1, right parenthesis에서 left parenthesis, 3, right parenthesis까지 방정식을 조작해서 f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x의 꼴이 되도록 했습니다. 다르게 말하면 xy를 분리해서 각 변수가 한쪽 변에만 있게 한 것이고, 미분방정식 start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction를 이루던 d, xd, y도 마찬가지입니다. 이게 이 방법을 "변수 분리"라고 부르는 이유입니다.
left parenthesis, 4, right parenthesis에선 각 방정식을 부정적분으로 만들었습니다. 이는 방정식에서 항상 그렇듯 f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, yg, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x와 같으면 그 부정적분도 같아야 한다는 사실에 기반합니다.
left parenthesis, 5, right parenthesisleft parenthesis, 6, right parenthesis에서는 y(좌변)와 x(우변)에 대해 적분을 구하고 y를 분리했습니다.
우변에만 상수 C를 더했습니다. 양변에 상수를 추가하는 것은 불필요한데, 한변에 있는 상수를 다른 변으로 옮겨서 하나의 상수를 만들 수 있기 때문입니다.
결론지으면 start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction의 해의 일반형은 y, equals, cube root of, x, squared, plus, C, end cube root입니다. y를 미분하면 이 해를 검산할 수 있습니다.
방정식의 해를 다시 보면 행 left parenthesis, 1, right parenthesis, 과(3)에서 한 변수의 분리로 인해서 적분을 할 수 있었고, 양변에 도함수가 없는 방정식을 얻었다는 것을 볼 수 있습니다.
문제 1.A
연습 문제 1에서는 이 미분방정식을 푸는 과정을 살펴봅니다:
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, e, start superscript, x, end superscript, dot, y, squared
변수 분리 후 방정식은 어떻게 생겼나요?
정답을 한 개 고르세요:
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