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분리 가능한 미분방정식
변수 분리는 미분 방정식을 푸는 흔한 방법 중 하나입니다. 어떻게 사용하고 왜 이렇게 부르는지 알아봅시다.
변수 분리는 미분방정식을 풀 때 사용하는 방법 중 하나입니다. 미분방정식 를 풀며 이를 살펴봅시다:
이 해를 검토해 봅시다.
행 에서 까지 방정식을 조작해서 의 꼴이 되도록 했습니다. 다르게 말하면 와 를 분리해서 각 변수가 한쪽 변에만 있게 한 것이고, 미분방정식 를 이루던 와 도 마찬가지입니다. 이게 이 방법을 "변수 분리"라고 부르는 이유입니다.
행 에선 각 방정식을 부정적분으로 만들었습니다. 이는 방정식에서 항상 그렇듯 가 와 같으면 그 부정적분도 같아야 한다는 사실에 기반합니다.
행 와 에서는 (좌변)와 (우변)에 대해 적분을 구하고 를 분리했습니다.
우변에만 상수 를 더했습니다. 양변에 상수를 추가하는 것은 불필요한데, 한변에 있는 상수를 다른 변으로 옮겨서 하나의 상수를 만들 수 있기 때문입니다.
결론지으면 의 해의 일반형은 입니다. 를 미분하면 이 해를 검산할 수 있습니다.
방정식의 해를 다시 보면 행 (3)에서 한 변수의 분리로 인해서 적분을 할 수 있었고, 양변에 도함수가 없는 방정식을 얻었다는 것을 볼 수 있습니다.