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로지스특 방정식 (2부)

동영상 대본

저번 시간에는 로지스틱 미분 방정식을 만족시키는 N(t)를 거의 구했었습니다 초기 조건은 0에서 K였고요 이제 약간의 대수학으로 모두 정리하기만 하면 됩니다 여기까지 했었습니다 구한 N(t)에 대해 이것은 참입니다 이제 로그의 성질을 이용해 좌변을 로그로 다시 쓰는데 어떤 것의 로그에서 다른 것의 로그를 빼면 첫 번째 것의 로그에서 첫 번째 것에서 두 번째 것을 나눈 것의 로그입니다 1 - N/K이고 그리고 당연히 이것은 여기 있는 것들과 같으니 그리고 당연히 이것은 여기 있는 것들과 같으니 그리고 당연히 이것은 여기 있는 것들과 같으니 적어 볼게요 rt + C와 같습니다 rt + C와 같습니다 그러면 이제 e의 rt + C제곱이 이것과 같다고 할 수 있습니다 e의 rt + C제곱이 이것과 같다고 할 수 있습니다 e의 rt + C제곱이 이것과 같다고 할 수 있습니다 이것의 자연로그는 e의 지수가 되는 이것과 같습니다 e에 이것을 제곱하면 이것이 됩니다 써 볼게요 써 볼게요 혹은 다르게 생각해보면 이것이 이것과 같다면 좌변을 e의 지수로 취하고 우변도 e의 지수로 취하면 둘은 같아야 합니다 따라서 e의 이 제곱은 괄호 안에 있는 것입니다 N/(1 - N/k)이죠 N/(1 - N/k)이죠 N/(1 - N/k)이죠 초록색으로 해서 무엇이 어디에서 왔는지 알 수 있도록 하겠습니다 이건 e의 이 제곱과 같습니다 e^(rt + C)와 같습니다 t는 흰색으로 하겠습니다 e^(rt + C)와 같습니다 이건 원한다면 다시 쓸 수 있습니다 지수에 덧셈이 있으면 이걸 e^rt + e^C로 간단히 할 수 있습니다 이건 그냥 또다른 상수가 됩니다 이게 C면 C_1이라 할 수도 있지만 그냥 상수라 하겠습니다 따라서 어떤 상수에 e^rt를 곱한 것이라 할 수 있습니다 이제 N에 대해 풀기만 하면 됩니다 다시 말하지만 언제라도 원한다면 스스로 N에 대해 풀어보세요 봅시다 N에 대해 푸는 한 방법은 봅시다 양변의 역수를 취하면 양변의 역수를 취하면 먼저 여기에 선을 긋겠습니다 먼저 여기에 선을 긋겠습니다 양변의 역수를 취하면 이건 (1 - N/k) /N이며 이건 (1 - N/k) /N이며 이건 무엇과 같냐면 이건 무엇과 같냐면 1/C · e^-rt라고 할 수도 있지만 1/C는 또다른 상수입니다 1/C라고 써서 역수를 구할 수도 있지만 다시 말하지만 이건 그냥 다른 상수이므로 그냥 쉽게 다른 상수를 두겠습니다 그냥 쉽게 다른 상수를 두겠습니다 그냥 쉽게 다른 상수를 두겠습니다 이걸 C_1 이걸 C_2라 할 수도 있고 이건 C_3이라 해서 이것이 같은 수가 아님을 표기할 수도 있습니다 이것이 같은 수가 아님을 표기할 수도 있습니다 이건 e의 이것의 제곱이고 이건 그 역수입니다 더 알기 쉽도록 이렇게 하도록 하죠 더 알기 쉽도록 이렇게 하도록 하죠 이건 C_1입니다 이건 C_1입니다 이것의 역수는 C_3입니다 e^rt의 역수는 e^-rt입니다 e^rt의 역수는 e^-rt입니다 e^rt의 역수는 e^-rt입니다 e^rt의 역수는 e^-rt입니다 분모와 분자를 N으로 나누면 분모와 분자를 N으로 나누면 분모와 분자를 N으로 나누면 이 항을 N으로 나누면 이 항을 N으로 나누면 1/N이고 이 항은 -1/k가 됩니다 이 항은 -1/k가 됩니다 이 항은 -1/k이 됩니다 이는 여기 이것과 같습니다 이는 여기 이것과 같습니다 복사해서 붙여넣습니다 이건 이것과 같고 대수학 연습하기 좋네요 봅시다 1/k을 양변에 더할 수 있습니다 그렇게 해 보죠 잘라서 복사하겠습니다 양변에 더하면 이건 1/k을 더한 것이 되겠죠 1/k을 더합니다 이제 N에 대해 풀어 봅시다 양변의 역수를 취하면 됩니다 여기는 N이 되고 함수처럼 표기하겠습니다 N(t)에서 t를 흰색으로 하죠 계속 흰색으로 쓰는 수고를 했으니까요 계속 흰색으로 쓰는 수고를 했으니까요 이 모든 것을 1에서 나눈 것과 같습니다 이 모든 것을 1에서 나눈 것과 같습니다 이 모든 것을 1에서 나눈 것과 같습니다 복사해서 붙여넣으면 이것과 같습니다 이것만으로도 충분히 흥미롭습니다 충분히 흥미롭습니다 이렇게 쓸 수 있습니다 그리고 원한다면 여기 k가 분수의 분수에 있는 것이 싫다면 분수의 분수에 있는 것이 싫다면 이렇게 다시 쓸 수 있습니다 여기에 할게요 N(t)는 다음과 같습니다 분자와 분모를 무엇으로 곱하나면 분자와 분모를 무엇으로 곱하나면 사실 일단 지금은 이렇게 놔두죠 이제 어떻게 할 것이냐면 이제 어떻게 할 것이냐면 N(0)이 N_0이라고 가정합니다 N(0)이 N_0이라고 가정합니다 N(0)이 N_0이라고 가정합니다 이걸 써서 상수를 찾아봅시다 초기 조건을 알 때 이것이 무엇인지 찾아봅시다 초기 조건을 알 때 이것이 무엇인지 찾아봅시다 N(0)은 무엇과 같냐면 N(0)은 무엇과 같냐면 분자는 1이고 t가 0이면 이건 다 1이 됩니다 따라서 그냥 상수 C_3과 1/k을 더한 것이 분모입니다 1/k은 환경이 수용할 수 있는 최대 개체수의 역수이죠 이것이 N_0과 같으며 이제 상수에 대해 풀 수 있습니다 이걸 풀려면 자리가 많이 필요할 겁니다 이걸 풀려면 자리가 많이 필요할 겁니다 다시 양변의 역수를 취하면 이걸 많이 하네요 C_3 + 1/k = 1/N_0입니다 C_3 + 1/k = 1/N_0입니다 양변의 역수를 취했고 그러면 상수 C_3은 1/N_0 - 1/k과 같습니다 1/N_0 - 1/k과 같습니다 로지스틱 함수라고 할 수 있는 이 해를 다시 쓰면 로지스틱 함수라고 할 수 있는 이 해를 다시 쓰면 재미있네요 N(t)는 무엇과 같냐면 분자는 1이고 상수는 이것입니다 복사해서 붙여넣겠습니다 분모에서 이것이 상수이고 여기에 e^-rt를 곱합니다 여기에 e^-rt를 곱합니다 여기에 e^-rt를 곱합니다 그리고 1/k를 더하죠 분모에 분수가 있는 것이 싫다면 분모에 분수가 있는 것이 싫다면 분자와 분모를 N_0 · k로 곱해 봅시다 분자와 분모를 N_0 · k로 곱해 봅시다 분자를 N_0 · k로 곱하고 분자를 N_0 · k로 곱하고 분모를 N_0 · k로 곱합니다 분모를 N_0 · k로 곱합니다 무엇이 나오나요? 이것은 모두 무엇이 되냐면 분자는 N_0 · k가 되고 분모에는 이 항을 N_0 · k로 곱하면 K가 됩니다 이 항을 N_0 · k로 곱하면 N_0이 됩니다 (k - N_0)이 되고 e^-rt를 곱합니다 e^-rt를 곱합니다 그리고 이것을 N_0 · k로 곱하면 N_0이 됩니다 따라서 N_0을 더해 줍니다 다 되었습니다 로지스틱 미분 방정식의 해를 찾았습니다 로지스틱 미분 방정식의 해를 찾았습니다 이것을 로지스틱 함수라 하는데 차후 동영상에서 더 다룰 예정입니다 이것이 무엇을 하는지도 보고요 만약 이 그래프를 그리면 사실 그러길 추천합니다 인터넷이나 Wolfram Alpha나 공학용 계산기를 이용해 그려보면 정확히 여기서 원했던 성질을 가짐을 볼 수 있을 것입니다 N_0에서 시작해 변화율이 증가하며 함수가 증가했다가 최대 개체수에 다다르면 느려집니다 최대 개체수에 다다르면 느려집니다 아주 유용함 함수이죠 개체수를 이것으로 모델링하면 어떤 시간에 개체수가 어떨지 예측을 해 볼 수 있습니다 이게 만족스러웠길 바랍니다