로지스틱 방정식 (1부)

이제 로지스틱 방정식을 풀어봅시다 이제 로지스틱 방정식을 풀어봅시다 이미 상수해를 몇 개 찾았습니다 지난 몇몇 영상을 살짝 복습해보면 이것이 t축이고 저것이 N축이면 N이 0이고 시간이 0이거나 인구가 0이면 출산가능인구는 없고 미분방정식은 해를 가집니다 N이 0이면 이 값이 0이 되어 변화율이 시간을 기준으로 0이고 변화율이 시간을 기준으로 0이고 그러므로 인구는 변하지 않습니다 0에 머무를 것입니다 이는 잘 된 일입니다 왜냐하면 그것은 실제 인구에서 일어날 일이기 때문입니다 이는 N(t)가 0과 같다는 상수해가 나오게 합니다 그것은 미분방정식의 한 가지 해이고 그다지 흥미롭지 않습니다 다른 상수해는 환경이 수용할 수 있는 최대치의 인구에서 시작한다면 K보다 큰 K가 될 것입니다 즉 해는 하나입니다 1－1 = 0이고 그 사이에서 인구는 변하지 않습니다 인구는 K에 머무르기 때문에 변화율은 0에 머무를 것입니다 그러므로 그것은 또 다른 상수해입니다 인구의 최대치에서 시작한다면 이 미분방정식은 불변하는 경우만 보여줍니다 하지만 한 번 보세요 N sub-not이라 부르는 초기값이 N(0)일 것입니다. 시간은 0입니다 그 사잇값에서 시작한다면 한계치보다 더 가깝거나 그 이하일 것입니다 한계치는 작은 분수이고 이는 N에 거의 비례할 것입니다 그것은 다음과 같이 보일 수도 있습니다 N이 증가함에 따라 기울기가 증가하지만 N이 K에 가까워질 때 기울기는 1에 근접할 것이고 0에 가까워질 것입니다. 기울기는 0에 가까워질 것입니다 기울기는 0에 가까워질 것입니다 그래서 K로 점근하는 경우를 상상할 수 있습니다 그래서 K로 점근하는 경우를 상상할 수 있습니다 이 문제를 해결할 수 있는지 한 번 봅시다 N(t)의 실제 해석식을 찾기 위한 값입니다 N(t)의 실제 해석식을 찾기 위한 값입니다 이것이 흥미롭기 때문에 맬서스식 사고에 맞는 인구 모델로 사용될 수 있습니다 그렇게 할 수 있는지 한 번 봅시다 방금 깨달은 것을 직접 해본다면 이것은 분리 가능한 미분방정식이고 우리는 함수 d를 추론하여 이것을 만족하는 t에 대한 N값을 풀 수 있을 것입니다 그래서 우리는 명백한 ts에서부터 이것을 분리해야합니다 하지만 여기에 명백한 ts는 없기 때문에 그렇게 하기 꽤 쉽습니다 그래서 지금부터 어떻게 하려는 것이냐면 그것으로 양쪽 모두를 해보려는 것입니다 이렇게 하면 제 생각에 조금 더 쉬워집니다 우리는 t에 대한 N값을 구하려하고 있기 때문에 그래서 제가 한 번 해 보겠습니다 이것은 1/N × (1-N/K)와 같을 것입니다 이것은 1/N × (1-N/K)와 같을 것입니다 r과 같을 것입니다 다르게 생각해볼 수도 있습니다 사실 그냥 이 방법을 한 번 따져 보겠습니다. 그래서 우리는 이 결과를 얻고 이제 제가 하고 싶은 것은 t에 대하여 양변을 부정적분하는 것입니다 t에 대하여 양변을 부정적분하는 것입니다 음, 이것은 꽤 간단합니다 그것은 그냥 rt 곱하기 어떤 상수일 것입니다 하지만 이 값은 무엇이 나올까요? 이것은 약간 복잡합니다 그리고 우리가 이것을 풀어낸다면 이것을 2개의 분수로 전개할 수 있다면 약간의 부분분수 전개를 하고 아마도 우리는 그것의 부정적분을 구하기 조금 더 쉽게 식을 표현할 수 있을 것입니다 아마도 우리는 그것의 부정적분을 구하기 조금 더 쉽게 식을 표현할 수 있을 것입니다 A/N + B/(1-N/K)일 때의 A와 B값을 찾을 수 있기를 바랍니다 A/N + B/(1-N/K)가 이러할 때의 A와 B값을 찾을 수 있기를 바랍니다 이 계산과 같고 1/N × (1-N/k)와 같을 떄 A와 B값을 찾을 수 있는지 한 번 봅시다 이것은 그냥 부분분수 전개식입니다 이게 잘 이해가 되지 않는다면 칸 아카데미에세 그 부분을 복습하길 권장합니다 부분분수 전개에 대해 검색해보세요 칸 아카데미에서 그래서 어떻게 풀어나가야 할까요? 이 두 개를 여기 더하겠습니다 여기서 합을 구한다면 이것은 이것의 A배가 될 것입니다 이는 A - A/K, N 더하기 이것에 B를 더한 값 더하기 BN 분의 이 둘의 결과입니다 이는 A - A/K, N 더하기 이것에 B를 더한 값 더하기 BN 분의 이 둘의 결과입니다 그래서 이것은 N 곱하기 1 - N/k가 될 것입니다 이렇게 생각해보는 방법도 있습니다 1 - N/K로 나눠서 A 곱하기 1 - N/K이 저렇게 되고 1 - N/k를 곱하면 저렇게 됩니다 그 다음 분자와 분모에 둘 다 N을 곱하였습니다 BN과 N배를 해주고 2를 더했습니다 이렇게 함으로써 통분 되었습니다 그래서 이것은 그냥 분수를 더하는 것입니다 분모와 다르게 이것과 같을 것입니다 1/{N× (1 - N/K)} 이제 우리는 한 번 생각해봅시다 어떤 경우에 A와 B가 같아지는지 어떻게 A와 B가 같아질 수 있을까요? 여기 상수항이 있습니다 여기 N항은 없습니다 아마도 N이 0번 있기 때문이라고 할 수 있습니다 사실 그것은 조금 도움이 됩니다 왜냐하면 아마도 N의 계수인 이 둘을 더한 것이 합해서 0이 되고 rA인 이것이 1과 같아질 것입니다 꽤 괜찮네요 이제 A는 1과 같고 A와 1이 같다면 - 1/K 더하기 B는 0이 됩니다 그러면 B가 무엇이 될까요? B는 1/K가 될 것입니다 그래서 이것을 이렇게 다시 쓸 수 있습니다. 1/N 더하기 1/K 더하기 1/K 이렇게 한 번 해보겠습니다 1- N/K 에 dN dt를 곱하면 r이 됩니다 그래서 여기서 부분분수 전개를 살짝 했습니다 저는 중요한 부분만 남기는 것을 좋아합니다 소거 해보겠습니다 영상을 되돌리기 해서 복습할 수 있습니다 그게 필요하다고 느낀다면 한 번 해봅시다 이것이 우리에게 도움이 됩니까? 음, 아마도 알게 될 것입니다 1/N의 부정적분이 될 수 있다는 것을 직접 확인할 수도 있을 것입니다 그러니 조금 생각해봅시다 우리는 1/N의 부정적분이 자연로그라는 것을 알고 다른 방식으로 했을 뿐입니다 우리는 N에 대한 도함수가 1/N과 같다는 것을 확인할 수 있고 t에 대한 도함수를 구하려는 것이라면 자연수 t에 대한 도함수는 N에 대한 이것의 도함수와 t에 대한 N의 도함수의 곱에 dN dt를 곱한 것입니다 여기서 똑같이 할 수 있습니다 주목하세요, 여기 식이 있습니다 이 식의 도함수가 무엇일까요? 바로 여기 있는 식이요 -1/K가 될 것입니다 N에 대한 도함수는 -1/K가 될 것입니다 여기 1/K값이 있습니다 이것을 음수로 만들 수도 있습니다 이것을 음수로 바꿔 이렇게 소거할 수도 있습니다 양수로 두는 대신에 이중부정이라 할 수도 있겠네요 그래서 이중부정, 아직 이것을 바꾸지 않았습니다 u로 치환하면 더 좋겠네요 혹은 머릿속으로는 이렇게 하는 것이 이미 익숙할 것입니다 그래서 우리는 그것이 도함수라는 것을 알고 있습니다 새로운 방법으로 한번 풀어보겠습니다 우리는 N에 대한 자연로그 1 빼기 N/K의 도함수를 알고 있습니다 우리는 N에 대한 자연로그 1 빼기 N/K의 도함수를 알고 있습니다 다시 한 번 해보면 이것은 연쇄법칙에 의해 N에 대한 이것의 도함수가 될 것입니다 이것은 -1/K에 이 값에 대한 이 모든 것의 도함수를 곱한 것입니다 이것은 -1/K에 이 값에 대한 이 모든 것의 도함수를 곱한 것입니다 아까 말한 이것은 1/(1-N/K)를 곱한 것입니다 아까 말한 이것은 1/(1-N/K)를 곱한 것입니다 이것은 정확히 여기 우리가 구한 값입니다 하지만 t에 대한 도함수를 사용하여 자연로그 1-N/K의 t에 대한 도함수가 된다면 자연로그 1-N/K의 t에 대한 도함수가 된다면 N에 대한 이 식의 도함수가 될 것입니다 N에 대한 이 식의 도함수가 될 것입니다 이것이 우리가 방금 구한 것입니다 다음과 같을 것입니다 그러니 복사 붙여넣기 하세요 이제 이렇게 될 것입니다 t에 대한 N의 도함수를 곱하고 연쇄법칙에 의해 간단히 하면 dN dt입니다 유념하세요, 우리는 dN dt를 알고 있고 이를 곱할 수 있다는 것을 이것은 각각의 값을 곱해줍니다 사실 그냥 해봅시다 이렇게 깔끔하게 정리합시다 왜냐하면 이것은 미분방정식과 많이 다르지 않기 때문입니다 하지만 가끔 배운 지 얼마되지 않은 미적분 내용과 솔직히 일부 대수학 내용까지 그 과정을 뛰어넘지 않는 것이 좋습니다 그러니 이것을 내보내면 편집하고 붙여넣기 하세요 오 이런, 제가 복사 붙여넣기를 하고 싶습니다 그래서 복사 붙여넣기하고 제가 그것을 받으면 복사 붙여넣기를 할 수 있습니다 그러면 저는 이 일을 여기서 배포할 수 있습니다 제가 받았으니 이제 살짝 정리를 해보겠습니다 바로 여기 있습니다 당연히 이것은 r값과 같습니다 이것의 t에 대한 부정적분을 구하면 이것에서 이것을 뺀 값을 바로 구할 것입니다 이것에서 이것을 뺀 값을 바로 구할 것입니다 한 번 해봅시다 t에 대한 부정적분을 가져다가 좌변에서는 자연로그를 구하고 t에 대한 그것의 부정적분은 절댓값 N의 자연로그이고 그리고 나서 t에 대한 부정적분에 마이너스를 붙이면 그리고 나서 t에 대한 부정적분에 마이너스를 붙이면 1 - N/K의 절댓값의 자연로그와 같아진다 1 - N/K의 절댓값의 자연로그와 같아진다 여기서 상수를 이용하려는 것을 잊지 맙시다 저는 깔끔한 일반적 풀이를 구하려 합니다 이것을 C1이라고 합시다 일반적 풀이는 t에 대한 부정적분은 r 곱하기 t와 같다는 것입니다 아마도 다른 상수를 더할 것입니다 아마도 다른 상수를 더할 것입니다 바로 이렇게 이제 저는 t에 대한 N값이 여기 이 가설을 만족한다고 가정할 것입니다 이제 저는 t에 대한 N값이 여기 이 가설을 만족한다고 가정할 것입니다 그래서 이렇게 가정할 것입니다 t에 대한 N값이 K보다 작고 0보다 클 것입니다 즉, N이 항상 양수이고 N이 항상 0과 K 사이에 있다면 그것은 항상 양수라는 뜻입니다 그것은 항상 양수라는 뜻입니다 이렇게 하면 풀이가 조금 더 깔끔해집니다 이제 이 방법으로 해봅시다 그것을 소거할 수 있는 방법으로 그것 대신에 몇몇 괄호를 여기 칠 수 있습니다 양변에 C1을 빼주는 것은 어떤가요 이것을 여기서 소거시켜줄 것입니다, 그러니 편집하고 잘라내기하고 붙여넣기해서, 여기 C1을 구합시다 제 풀이를 지나치게 자세히 쓴다는 것을 알고 있습니다 그래서 깔끔하게 보이지는 않습니다 이것을 조금 더 깔끔하게 정리하려 합니다 또 다른 상수와의 차를 아직 구하지 않은 임의의 상수가 있습니다 또 다른 상수와의 차를 아직 구하지 않은 임의의 상수가 있습니다 이것을 다른 상수라 부르겠습니다 대강 C라고 합시다 이렇게 하면 명료해지고 저는 저것도 C라고 할 것입니다 저는 저것을 C라고 할 것입니다 그리고 이것을 더 간단하게 정리할 수 있습니다 하지만 사실 제가 13살이라는 것을 깨달았습니다 저는 이것이 좋습니다 다음 영상에서 이어서 합시다 거의 다 풀어가서 흥미진진합니다 이 로지스틱 방정식을 만족시키는 t에 대한 N값을 거의 다 풀어갑니다 이 로지스틱 방정식을 만족시키는 t에 대한 N값을 거의 다 풀어갑니다 매우 매우 흥미롭습니다