성장 모델이란?

인구 모델링에 대해 생각해 봅시다 그리고 제가 여기 가져온 사진은 잘 알려진 것들 입니다 바로 여기 있는 신사분은 인구와 인구 증가의 한계에 대해 생각할 때 가장 잘 알려진 사람일 것입니다 토마스 맬서스입니다 그는 영국의 성직자, 작가, 학자입니다 18세기 후반부터 19세기 초까지 활동했죠 그는 인구가 무기한으로 성장할 수 있고 우리는 항상 기술로 먹고 살 수 있으며 환경은 결국 인구가 얼마나 혹은 어디로 성장할지 제한을 둔다고 주장했습니다 피에르 프랑수아 베르헐스트는 제가 그의 이름을 잘못 발음한 것 같지만 벨기에의 수학자이며 맬서스의 연구를 읽고 맬서스가 얘기한 상태를 모델화하려 했습니다 만약 환경적 제약이 없다면 인구는 기하급수적으로 증가하지만 그때는 환경이 설정해 놓은 한계에 걸리게 되어서 결과적으로 어떤 특정한 인구유형과 비슷해지는 방향으로 갈 것입니다 맬서스는 그것이 아주 깔끔한 점근선으로 갈 것이라고는 생각하지 않았습니다 오히려 그는 인구가 한계를 넘어 성장하다가 재앙을 겪고 다시 그 한계 아래로 떨어지며 이렇게 재앙을 통해 인구가 제한점 주위에서 오고 간다고 생각했습니다 맬서스가 낙관적이라고 생각할 수도 있겠네요 하지만 수학에 대해서 그리고 미분방정식에 대해 조금만 생각해 봅시다 너무 깊게 가지 않고 인구를 이해하기 위한 미분방정식만 생각하죠 인구에 대해 생각하는 첫 번째 방법을 저는 미분방정식이라 하겠습니다 변수를 몇 개 설정하죠 N을 우리의 인구라고 합시다 이게 우리의 인구입니다 그리고 N을 t에 관한 함수라고 합시다 t로 나타나지는 함수 N 이게 우리가 이번에 살펴볼 것입니다 솔직히 다음에도 해야될 것 같군요 이것에 대해 생각할 수 있는 한 가지 방법은 시간이 지남에 따라 얼마나 증가하냐는 것입니다 둘은 어떻게 연관되어 있을까요? 자 그렇다면 시간에 따른 인구의 증가율은 무엇일까요 d, 대문자 N, 그리고 dt 이제 생각해 볼 수 있는 것은 그것이 인구에 비례한다는 것입니다 이제 그것은 어떤 비례상수에 인구를 곱한것 인구 자기 자신을 곱한 것 이라고 할 수 있겠네요 말이 되네요 인구가 적다면 단위시간당 증가하는 인구의 양이 인구가 많을 때 보다 적으니까요 인구가 많으면 많을수록 단위시간당 증가하는 양이 많아지죠 사실 방금한 것은 미분방정식을 해결하는 꽤 쉬운 방법이죠 만약 여러분이 그렇게 하고 싶은 마음이 드신다면 비디오를 멈추는걸 추천드리죠 하지만 저는 N에 관한 지수함수를 가져와서 풀겁니다 한 번 해보죠 이걸 풀기 위해서는 변수를 분리합니다 N과 t를 분리해요 사실 여기 dt가 있지만 곧 하게 될 겁니다 제가 양 변을 N으로 나눈다면 1/N 이 생기고 제가 양변에 dt를 곱해준다면 dt에 대해 생각해 본다면 곱할 수 있다는걸 아실 겁니다 그래서 양변에 곱하거나 나눌 수 있죠 그리고 양변에 dt를 곱하면 좌변에는 1/N과 dN이 있게 되고 우변에는 R × dt가 있게되죠 제가 양변에 곱해서 우변에 dt가 있다는 걸 알아두세요 그리고 양변에 나눈 N을 나누어서 우변에 1/N이 있죠 자이제 우리는 양변에 적분을 취해줄 수 있습니다 우리가 양변에 적분형을 취한다면 좌변에서 뭐가 얻어질까요? 이건 우리의 인구값의 절댓값에 자연로그를 취한 것이 됩니다 결과적으로 우리는 인구가 언제나 0이 아니라는 것을 추론할 수 있겠네요 절대값은 지울 수 있고요 이제 시간에 관해서도 해봅시다 이건 Rt와 같아지겠네요 그리고 여기에 상수가 들어가는데 한 변에만 하도록 하겠습니다 그럼 Rt + C네요 그리고 N에 관해 풀어주려면 이렇게 하면 e에 ln|N|의 지수는 e의 Rt + C의 지수와 같은게 되죠 다르게 생각해 보면 e^ln|N|은 e^(Rt+C)와 같은거죠 이걸 다르게 생각하면 e에 ln|N|을 지수로 하면 e^(Rt+C)와 같아지는 겁니다 이제 이 방법으로 해 보죠 e가 각각 양변을 지수로 갖도록 해 줍시다 이제 e에 ln|N|의 지수는 e의 Rt + C의 지수와 같아야 하죠 좌변의 e의 지수가 ln|N|인데 이건 |N|과 같아집니다 N은 양수라고 가정하면 그러니까 인구가 0보다 크다고 가정하면 이 좌변을 그냥 N으로 쓸 수 있습니다 그리고 우변은 e^(Rt+C)가 되어 이 두개가 같아집니다 여기 우변은 e^Rt e를 다른 색으로 하죠 e^Rt × e^C가 되네요 맞죠? 전에는 지수가 합으로 표현되었던 것이 e^Rt × e^C가 됐네요 원한다면 이 부분을 임의적인 상수라고 할 수 있겠네요 이걸 그냥 C라고 합시다 이건 e^Rt에 C를 곱한거죠 아니면 그냥 C × e^Rt 라고 할 수 있겠네요 자 우리는 미분방정식을 풀었습니다 이제 우리는 맬서스의 현실보다 덜 낙관적인 한계를 찾았습니다 이건 이제 인구를 가정할 때 이렇게 할 수 있다는 겁니다 시간에 따른 인구의 변화율은 인구의 변화에 비례한다는 것입니다 우리가 이 미분방정식을 풀 때 우리는 인구를 시간에 관한 함수라고 했습니다 정확히 하자면 이건 시간에 관한 함수죠 N을 살짝 옆으로 옮기고 이렇게 쓸 수 있겠네요 t에 관한 N은 이렇게 쓸 수 있네요 이게 우리의 미분방정식의 해입니다 이 값은 영원히 증가합니다 초기조건을 안다면 그러니까 N(0)를 안다면 시간이 0인 N이죠 이걸 N0라고 합시다 그럼 C는 뭘까요? 사실 N(0)=C 가 됩니다 C × (e^0)이죠 지수가 0이면 1이죠 그래서 C와 같아집니다 그래서 N0=C 입니다 자 이제 우리는 여기 있는 해가 N(t)는 N0, 시작 조건 곱하기 e^Rt로 쓸 수 있습니다 자 이건 다시 지수함수입니다 결과적으로 인구는 이렇게 됩니다 이걸 그래프로 그리면 이건 시간축이고 이건 N축이고 Y축이 N축이라고 할 수 있네요 저는 표현하고 싶지만요 이건 N0가 될거고요 여기서부터 지수적으로 증가합니다 이 지수함수의 증가율은 여기 있는 상수에 의해 정해집니다 하지만 그 개형은 같죠 그리고 이건 증가할수록 빠르게 증가하고 영원히 계속 증가합니다 제가 비디오 시작에서 언급했듯이 맬서스느 이게 진실이라고 믿지 않았죠 그는 우리가 인구를 제한하는 어떠한 자연적 한계에 도달할 것이라고 생각했습니다 그래서 그는 이런게 인구 모델을 설명하기에 더 적합하다고 생각했습니다 이렇게 계속 왔다갔다 하더라도 말이죠 그런 한계 말입니다 다음 비디오는 피에르 프랑수아 베르헐스트에 관해 다룹니다 멋진 미분방정식도요 그리고 해답까지 말이죠 그 방정식 모델은 맬서스가 믿는 우리의 현실을 잘 설명해 줍니다