예제: 로지스틱 모델 방정식

지난 몇 개의 동영상에서 로지스틱 미분 방정식으로 시작해서 환경의 제약이 없을 때 얼마나 빠르게 증가하는지를 말해주는 상수 r이 있고 얼마나 빠르게 증가하는지를 말해주는 상수 r이 있고 제약이 있을 때 최대 개체수를 나타내는 K가 있습니다 제약이 있을 때 최대 개체수를 나타내는 K가 있습니다 만약 이것을 풀려고 하고 N(t) = 0이나 N(t) = K처럼 상수 해를 원하지 않는다면 N(t) = 0이나 N(t) = K처럼 상수 해를 원하지 않는다면 N(t) = 0이나 N(t) = K처럼 상수 해를 원하지 않는다면 지난 동영상에서 보았듯이 N(t)는 무엇과 같냐면 분자는 N_0에 최대 개체수를 곱한 것이고 분모는 초기 개체수에 더해 최대 개체수와 초기 개체수의 차 최대 개체수와 초기 개체수의 차 K - N_0에 e^-rt를 곱한 것입니다 바로 이 로지스틱 함수는 바로 이 로지스틱 함수는 상수가 아닌 해이며 로지스틱 미분 방정식에 개체수를 모델링 할 때 관련있는 것입니다 관련있는 것입니다 이걸 구하기 위한 일은 끝마쳤으니 적용시켜 봅시다 목표는 개체 수의 증가를 모델링 하는 것이었습니다 가정을 해 보겠습니다 먼저 이렇게 생각해보죠 제게 섬이 있다고 해 봅시다 이게 제 섬이고 100명과 함께 정착했습니다 이는 곧 N_0이 N_0 색으로 할게요 N_0이 100이라고 하는 것입니다 그리고 이 환경은 현재의 농작 기술과 물 같은 것들의 요소로 인해 최대 1,000명을 수용할 수 있다고 합시다 따라서 K = 1,000입니다 개체수의 한계이죠 이제 r은 무엇일지 생각해 보아야 합니다 조금의 가정이 필요한데 한 세대를 20년이라고 가정하고 한 세대를 20년이라고 가정하고 인구가 50% 증가한다고 하면 합당하겠네요 인구가 50% 증가한다고 하면 합당하겠네요 20년마다 50%씩 증가합니다 실제 인구가 50% 증가합니다 20년 후에 50% 증가하려면 연간 얼마나 증가해야 할까요? 계산기를 가지고 생각해 보겠습니다 생각하는 한 가지 방법은 기존 인구의 1.5배에 있다고 하는 것입니다 이것을 1/20 제곱하면 이것을 1/20 제곱하면 얼마나 증가해야 하는지 알려줍니다 매년 1.02048만큼 증가해야 한다고 말이죠 매년 1.02048만큼 증가해야 한다고 말이죠 이렇게 생각할 수 있습니다 반올림해서 매년 0.0205씩 증가하면 복리가 발생해 20년 후에는 50%가 증가하는 것입니다 따라서 r은 이것입니다 매년 얼마나 증가하는지를 알려주죠 연간 증가량이라고 적어 놓겠습니다 t의 단위는 년이라고 하겠습니다 t의 단위는 년이라고 하겠습니다 t의 단위는 년이라고 하겠습니다 이 모든 가정 하에 로지스틱 함수는 어떻게 생겼을까요? N(t)는 무엇과 같냐면 N_0 · K이므로 100 · 1,000에 N_0 · K이므로 100 · 1,000에 N_0 · K이므로 100 · 1,000에 이건 초기 인구수에 최대 인구수를 곱한 것이고 분모에는 초기 인구수에 더해 최대와 초기의 차 그러니까 1,000 - 100인 900에 그러니까 1,000 - 100인 900에 r이 0.0205이므로 e^-0.0205t를 곱합니다 r이 0.0205이므로 e^-0.0205t를 곱합니다 이것과 같습니다 그리고 이것이 실제로 인구수를 로지스틱 미분 방정식의 방식으로 인구수를 로지스틱 미분 방정식의 방식으로 설명하는지 확인하기 위해 그래프를 그려 봅시다 동영상을 멈추고 그려 볼게요 여기에 그래프를 그려서 복사해 놓았습니다 여러분이 상상했던 양상이 보입니다 0년차의 인구는 100에서 시작합니다 보기 좋은 색으로 바꿀게요 인구는 100에서 시작해 20년 후에 인구는 거의 150이 되는 것으로 보입니다 적어도 처음에는 이 항이 지배적인 것처럼 보이네요 매년 0.0205 그러니까 2.05%씩 증가하고 그로써 50%에 가까워집니다 처음엔 그러하다는 것을 볼 수 있죠 첫 세대는 첫 20년동안 100에서 150으로 성장합니다 첫 세대는 첫 20년동안 100에서 150으로 성장합니다 그리고 다음 세대에도 75를 추가로 더해야 합니다 환경의 제약이 없다면요 150 + 75는 225입니다 20년 후에 200 정도이니 약간 느립니다 제약 없는 기하급수적 성장보다는 느립니다 제약 없는 기하급수적 성장보다는 느립니다 제약 없는 기하급수적 성장이라면 이정도였겠죠 제약 없는 기하급수적 성장이라면 이정도였겠죠 어쨌든 꽤 잘 증가하고 있습니다 하지만 인구가 점점 커지고 하지만 인구가 점점 커지고 점점 최대 인구수에 다가갈 때 성장률은 0에 가까워집니다 계속해서 최대 인구수에 다가가지만 정확히 그렇게 되지는 않습니다 점근선이 있는 것처럼요 시간이 계속될수록 다가가기만 합니다 그리고 여러분만의 상한선을 정해서 그리고 여러분만의 상한선을 정해서 최대 인구수의 90%는 언제 도달하는지 물을 수 있습니다 최대 인구수의 90%는 최대 인구수의 90%는 이 섬에서 210년 후에 일어나네요 인간의 기준으론 오랜 시간, 많은 세대이지만 우주의 기준으론 그렇게 길지 않습니다 우주의 기준도 필요 없습니다 인간 기준보다 약간 더 긴 수준이죠 이것은 어떻게 그것이 진행되는지 설명하고 있습니다 아주 흥미로운 모델이고 실제 인구수 증가에 대한 데이터와 비교하면 어떻게 될지 궁금합니다 그에 관련해 여태까지 맬더스의 한계가 있다고 가정해 왔는데 여태까지 맬더스의 한계가 있다고 가정해 왔는데 인류의 역사에서 배울 수 있는 것은 이 맬더스의 한계가 계속해서 기술의 발전과 함께 더 높이 올라가고 있다는 것입니다 특정 지역에서 작물을 더 많이 기를 수 있고 특정 지역에서 작물을 더 많이 기를 수 있고 법도 발전해서 예전보다 사람들이 서로를 덜 죽입니다 물과 관개를 더 잘 활용할 수 있는 그런 것 때문에요 그래서 생각할 수 있는 것보다 한계를 훨씬 끌어올릴 수 있었습니다 만약 토마스 맬더스에게 2014년 지구에 70억명의 인구가 있다고 했다면 그건 맬더스의 한계를 한참 넘는다 했을 것입니다 그 당시 기술을 생각해서 아마 맬더스의 한계는 10억이나 20억이라 생각했을 것입니다 아마 맬더스의 한계는 10억이나 20억이라 생각했을 것입니다 하지만 벌써 70억에 다다랐죠 기술이 발전하고 농업이 발전하며 법이 발전하고 모든게 발전하고 있기 때문에 어떻게 될지 누가 알까요? 지금은 지구에 200억명이 있는 것이 말이 안된다 생각할 수도 있지만 현재에 기술론 그럴 수 있지만 기술이 계속 발전한다는 긍정적인 시나리오라면 그럴 수 있을 것입니다 그것이 꼭 좋지 않을 수 있지만 그와 상관 없이 그렇게 될 수도 있을 것입니다