로지스틱 성장 모델

지난 시간에 우리는 시간에 따른 인구의 함수를 모델링 해보았습니다 그때 시간에 따른 인구수의 변화율은 그때 시간에 따른 인구수의 변화율은 현재 인구수에 비례할 것이라고 생각했습니다 현재 인구수에 비례할 것이라고 생각했습니다 인구증가율이 인구가 늘수록 증가할 것입니다 그리고 이 미분 방정식을 실제로 풀려고 할때, 그리고 이 미분 방정식을 실제로 풀려고 할때, 방정식을 만족하는 t에 대한 함수 N을 찾으려 할 것입니다 우리는 지수함수가 이를 만족한다는 것을 알아냈습니다 우리는 지수함수가 이를 만족한다는 것을 알아냈습니다 그래프를 그리면 이럴 것입니다 그래프를 그리면 이럴 것입니다 그래프를 그리면 이럴 것입니다 이것은 시간 축이고 이것은 인구 수 축입니다 시간이 갈수록 인구 수가 기하급수적으로 증가합니다 그런데 여기에 문제가 있습니다 만약 토마스 말터스가 맞다면? 환경이 뒷받침해주지 못한다면 환경이 뒷받침해주지 못한다면 다른 색깔로 하겠습니다 환경이 인구를 K보다 많이 수용할 수 없다고 해봅시다 환경이 인구를 K보다 많이 수용할 수 없다고 해봅시다 그렇다면 인구수는 계속 증가하기만 하진 못할 것입니다 음식과 물이 부족하고 자원과 같은 많은 것이 부족할 것입니다 너무 많은 오염을 만들어낼 것입니다 어떻게 될지 모릅니다 인구수를 모델링한 이 첫번째 모델은 실용적이지 않습니다 당신이 말터스의 의견에 동의하면 더욱 그렇습니다 말터스를 잘못 발음하고 있는 것 같습니다만 벨훌스트가 그림에 나타나겠습니다 그는 말터스의 업적인 말터스가 말하고자 하는 행동의 유형 모델링 을 읽었고 우리가 정말로 원하는 것은 무엇이냐면 한번 써보겠습니다 모델링해봅시다 다른 미분방정식을 설정하겠습니다 N이 환경이 뒷받침할 수 있는 것보다 상당히 작다면 N이 환경이 뒷받침할 수 있는 것보다 상당히 작다면 지수함수적인 증가를 하는 것은 이해가 됩니다 그러나 이제 증가가 좀 덜해질 수 있습니다 증가량이 0이 되게 할 수 있습니다 N이 K에 도달하면서 말입니다 이것을 어떻게 표현하냐면, 어떤 수를 곱할 것인데 N이 작을때 N이 K보다 훨씬 작을때 이 항은 1에 가까워지게 할 것입니다 N이 K에 가까워지면서 이 항이 0에 근접하게 할 것입니다 한번 써봅시다 이것이 이 항에 대한 우리의 목표입니다 N이 K보다 훨씬 작을때 인구수는 전혀 제한되지 않고 신생아들이 생길 수 있습니다 이 아기들이 먹여지고 또 아기들을 낳게 되면서 우리가 전에 가지고 있던 모델에 가까워집니다 그런데 N이 K에 근접하면서 이 항이 이 항이 0에 근접하게 됩니다 N이 계속 증가하여 인구의 자연적인 한계까지 갈 때 rN이 무엇이 되든지 간에 이 항의 값이 0에 가까워지면서 0에 가까운 증가율을 만들것입니다 식량이 궁핍해지고 물건들을 찾기 힘들어지겠습니다 이 항에 무엇을 할 것이냐면 여러분들이 잠깐 영상을 멈추고 직접 꽤 간단한 대수식을 N과 K, 또 필요하면 1을 사용하여 N과 K, 또 필요하면 1을 사용하여 이 항목을 채워봅시다 봅시다 1부터 시작합시다 N/K로 빼어 봅시다 필요한 값을 만족하는지 봅시다 네 만족합니다 N이 아주 작을 때 K보다 아주 작을 때 이 분수의 값이 아주 작을 것입니다 이 전체 항의 값은 1과 가깝도록 될 것입니다 N이 거의 K에 가까워질 때 N이 점점 K에 가까워질 때 여기 이 값이 1에 가까워질 것입니다 이 항이 거의 0에 가까워질 것입니다 정확히 우리가 원했던 것입니다 이것은 수많은 분야에 적용될 수 있습니다 인구수 모델링뿐만 아니라 많습니다 하지만 인구수 모델링이 계기가 되긴 했습니다 하지만 인구수 모델링이 계기가 되긴 했습니다 이 미분 방정식은 꽤 유명합니다 로지스틱 미분방정식이라고 부릅니다 다음 영상에서는 이것을 실제로 풀 수 있습니다 이것은 분리가능한 미분방정식입니다 이것을 그냥 적분의 일반적인 기술로도 풀 수 있는데 여기 미분방정식보다는 어렵습니다 그러니까 함께 해봅시다 해결책을 봅시다 로지스틱 미분방정식의 해결법은 로그함수입니다 인구를 모델링할 수 있는데, 직접 풀기 전에 이 미분방정식을 해석해보고 함수의 개형이 어떻게 생길지 생각해봅시다 그러기 위해서 축들을 그려보겠습니다 축을 그려봅시다 이것이 시간축입니다 이것은 인구수 축입니다 화면 조정을 하겠습니다 안 보일 수 있기 때문입니다 치환 몇가지를 셍각해봅시다 치환 몇가지를 셍각해봅시다 N은 t에 대한 함수입니다 t가 0일때 N은 0인데 rN 역시 0이 될 것입니다 그리고 변화율은 0이 될 것입니다 그래서 인구가 증가하지 않을 것입니다 좋습니다 인구수가 0이기 때문에 어떻게 인구수가 증가할 수 있습니까? 어떻게 인구수가 증가할 수 있습니까? 아이들을 가질 수가 없습니다 이 미분방정식의 실제 해가 여기 표현됩니다 N(t)＝0 이라는 것입니다 인구 수가 0에서 시작한다면 N이 0에서 시작하면 영원히 0이 될 수 밖에 없습니다 이것은 실제 세상과 마찬가지입니다 아이들을 낳을 사람이 없는 상황입니다 다른 상황을 고려해봅시다 우리 인구가 N절편이 K이라면 N이 0이 아니었다면 이것이 K입니다 t＝0일 때 이것이 인구수입니다 N＝K일 때, 1－1이니까 이 값은 0이고 인구수의 변화율은 0이 될것입니다 근본적으로 인구수가 K일 때 얼마 안되는 시간 후에 같은 K를 가질 것입니다 인구수의 변화율이 0일 때 인구수가 일정하다는 것을 의미합니다 인구수는 K에 머무를 것입니다 설득력 있습니다 말터스는 아마 인구수의 환경의 수용량보다 좀 넘어선다면 홍수가 날 것이고 허리케인이나 기근이나 생기고 그래프가 왔다갔다할 것입니다 우리의 목적을 위해서는 우리는 완벽하게 모델링할 수는 없습니다 우리의 목적을 봤을 때는 꽤 괜찮습니다 환경이 수용할 수 있는 한계만큼 인구가 있습니다 이 인구에서 멈춰 있는 이것은 또다른 상수해가 될 것입니다 N(t)＝ 이제 초기조건이 중요한지 아셨을 것입니다 0에서 시작하면 0에서 멈추고 N(t)＝K에서 멈춥니다 더 흥미로운 시나리오를 생각해봅시다 초기값이 0과 K사이에 있을 때를 가정합시다 그러면 초기값을 0보다는 큰 어떤 지점에서 시작해서 아이들을 가질 사람들이 있고 K보다 작으니까 환경의 수용량을 아직 넘어서지 않았습니다 땅이나 음식이나 물이나 어떤 것이든지 말입니다 무슨 일이 일어날지 생각합시다 이번에는 스케치해봅시다 이번에는 스케치해봅시다 다음 수업 때 풀어보도록 합시다 N이 K보다 아주 작다면 K보다 아주 작으면 이 항이 주로 영향을 미치는 부분이 될 것입니다 이 항이 주로 영향을 미치는 부분이 될 것입니다 K보다 아주 작기 때문에 K의 6,7,8분의 1정도로 그립시다 K의 6,7,8분의 1정도로 그립시다 K의 6,7,8분의 1정도로 그립시다 이 값은 1－1/8이 됩니다 7/8이 되겠습니다 이것이 우리의 증가율을 결정하는 항목이 될 것입니다 r 값의 영향이 큽니다 이렇게 생각해봅시다 이렇게 생각해봅시다 인구가 증가할 때 변화율 역시 증가할 것입니다 이런 모양이 될것입니다 인구가 증가할수록 기울기 역시 증가합니다 점점 가파르게 됩니다 N이 K에 가까워질 때 1－N/K는 점점 1－1에 가까워집니다 1－1에 가까워집니다 그래서 아주 작은 값이 되고 우변은 0에 가까워집니다 N이 K에 접근할 때 변화율은 완만해집니다 점근선 K가 만들어집니다 로지스틱 미분방정식의 해는 결국 이런 모양이 될 것입니다 초기값에 따라서 초기값이 여기일 때 아마 이런 모양이 될 것입니다 초기값이 여기일 때 이런 모양이 될 것입니다 이것이 미분방정식이 재밌는 점입니다 화려한 수학을 하기 전에 이러한 직관을 얻을 수 있습니다 미분방정식이 어떻게 될지를 생각해서 말입니다 미분방정식이 어떻게 될지를 생각해서 말입니다 N이 K보다 아주 작으면 N이 증가하면서 N이 K에 가까워지면서 증가율이 감소합니다 다음 강의에는 이 방정식의 해를 통해 N을 구하고 우리의 직관과 일치하는지 확인합시다