예제: 로지스틱 모델 문장제 문제

페트리 디쉬에 있는 세균의 개체수 P(t)는 페트리 디쉬에 있는 세균의 개체수 P(t)는 로지스틱 미분 방정식을 충족하며 시간에 대한 개체수의 변화율은 개체수의 두 배에 6와 개체수를 8000으로 나눈 것의 차를 곱한 것입니다 6와 개체수를 8000으로 나눈 것의 차를 곱한 것입니다 t의 단위는 시간이고 초기 개체수는 700마리입니다 개체수의 환경수용력은 얼마일까요? 가장 빠르게 자랄 때의 개체수는 얼마일까요? 가장 빠르게 자랄 때의 개체수는 얼마일까요? 이 문제를 풀려면 언제라도 원한다면 동영상을 멈추고 문제를 풀어보세요 먼저 복습을 통해 먼저 복습을 통해 로지스틱 미분 방정식과 환경수용력이 무엇인지 알아봅시다 일반적으로 로지스틱 미분 방정식은 보통 개체수에 대해 사용하므로 보통 개체수에 대해 사용하므로 계속 그렇게 하겠습니다 시간에 대한 개체수의 변화율은 개체수의 곱과 환경수용력과 개체수의 차의 곱입니다 환경수용력과 개체수의 차의 곱입니다 이게 왜 많이 보게되는 식일까요? 특히 왜 개체수에 대해 배울 때 유용할까요? 개체수가 작을 땐 환경이 제한되지 않습니다 따라서 0이 아닌 값으로 시작한다고 가정했을 때 이게 커질수록 이게 많이 작아지지 않으므로 순간변화율은 증가합니다 여기에 그래프를 그려서 로지스틱 방정식의 흔한 해를 보도록 합시다 로지스틱 방정식의 흔한 해를 보도록 합시다 이건 개채수이고 이건 시간입니다 개체수가 적을 땐 그보다 일단 0이 아닌 값에서 시작합니다 그보다 일단 0이 아닌 값에서 시작합니다 0이라면 어떻게 될까요? 순간변화율은 0이고 개체수는 증가하지 않습니다 말이 되죠 처음 섬에 토끼가 없으면 섬에 계속 토끼가 없겠죠 토끼가 조금 있다면 처음엔 순간변화율 개체수의 변화율은 이게 커짐에 따라 계속 증가합니다 이게 커짐에 따라 계속 증가합니다 그러다 어떤 순간에 환경이 토끼나 세균이 환경에서 자랄 수 있는지를 제한합니다 개체수가 a에 가까워질수록 이건 0에 가까워지고 순간변화율을 점점 작게 만듭니다 순간변화율을 점점 작게 만듭니다 그래서 제한되는 경우에 P가 굉장히 a에 가까위질 때 P가 무한대에 가까위진다 상상하면 순간변화율은 0에 가까위집니다 이렇게 생각해 볼 수 있습니다 개체수는 환경수용력에 점근선을 가집니다 바로 a에 말이죠 이 첫 번째 문제는 답하는 방법이 몇 개 있습니다 이 첫 번째 문제는 답하는 방법이 몇 개 있습니다 하나는 주어진 로지스틱 미분 방정식을 이 꼴로 만들고 환경수용력이 얼마인지 보면 됩니다 다른 방법은 P가 무한대에 가까위질 때 어떻게 되나요? t가 무한대가 되면 이건 0이 됩니다 그러니 이 로지스틱 미분 방정식에서 어떤 P의 값이 이걸 0으로 만드는지 보면 됩니다 이 미분 방정식에서요 이게 0에 다가갈 때 여기 P의 값은 어디에 가까워질까요? 둘 다 해봅시다 이 꼴로 만들어 보겠습니다 비슷합니다 이건 6 - P/8000입니다 어떤 수에서 P를 뺀 꼴로 만들 수 있을까요? 어떤 수에서 P를 뺀 꼴로 만들 수 있을까요? 이것을 8000으로 곱하고 이것을 8000으로 나누면 방정식의 값은 변하지 않습니다 해 봅시다 이것을 8000으로 나누면 dP/dt는 2P/8000인 P/4000에 2P/8000인 P/4000에 이 식에 8000을 곱한 후 둘을 곱하면 됩니다 6 · 8000은 48,000이고 P/8000 · 8000은 P이니 P를 뺍니다 이 꼴로 식을 다시 썼고 환경수용력은 48,000마리입니다 환경수용력은 48,000마리입니다 여기가 48,000이죠 다르게 생각해보면 환경수용력은 t가 무한대에 가까워질 때입니다 환경수용력은 t가 무한대에 가까워질 때입니다 따라서 t가 무한대에 가까워질 때 이건 0이 됩니다 변화율이 0이 됨을 볼 수 있죠 그게 0이 될 때 P는 무엇에 가까워질까요? 이걸 풀면 됩니다 6 - P/8000 두 개의 P에서 미분이 0이 됩니다 두 개의 P에서 미분이 0이 됩니다 하나는 이게 0인 경우입니다 개체수가 0인 경우고 다른 경우는 이것이 0인 경우입니다 해보죠 6 - P/8000 = 0이라 하고 P/8000 = 6이며 양변을 8000으로 곱하면 P는 48,000입니다 여기에 구한 것과 같습니다 이제 두 번째에 답해 봅시다 가장 빠르게 자랄 때 개체수의 크기는 얼마일까요? 직관적으로 그게 언제인지 볼 수 있습니다 변화율은 점점 커지다 환경수용력에 다가갈수록 변화율은 점점 느려집니다 가장 변화율이 큰 때는 바로 여기 쯤입니다 이건 어떻게 구할까요? 로지스틱 미분 방정식으로 돌아가면 됩니다 로지스틱 미분 방정식으로 돌아가면 됩니다 여기서 변화율은 개체수에 대한 함수라는 것을 알 수 있습니다 여기서 변화율은 개체수에 대한 함수라는 것을 알 수 있습니다 여기서 변화율은 개체수에 대한 함수라는 것을 알 수 있습니다 이건 사실 이차방정식입니다 이건 위로 볼록한 이차방정식으로 이렇게 생겼습니다 변화율을 그래프로 그리면 변화율을 그래프로 그리면 개체수에 대한 함수인 dP/dt는 개체수가 작을 땐 그러니까 개체수가 700일 때 그냥 일반적인 경우로 하겠습니다 개체수가 작을 때는 변화율도 작다가 커지고 그러다 어떤 점에서 변화율은 감소하기 시작하고 개체수가 환경수용력에 다다르면서 0에 가까워집니다 개체수가 환경수용력에 다다르면서 0에 가까워집니다 여기가 환경수용력이 됩니다 여기가 환경수용력이 됩니다 이 최댓점은 무엇일까요? 몇 가지 방법으로 접근할 수 있습니다 미적분도 있고 대수학도 사용할 수 있습니다 사용할 수 있는 것이 많죠 이건 아래로 향하는 포물선의 꼭짓점일 뿐입니다 이건 아래로 향하는 포물선의 꼭짓점일 뿐입니다 이 꼭짓점을 찾아봅시다 꼭짓점은 이차방정식의 두 근의 중간입니다 꼭짓점은 이차방정식의 두 근의 중간입니다 먼저 이것을 0으로 만드는 P를 구해야 하는데 방금 했습니다 최댓점은 그 중간입니다 개체수가 0이면 변화율도 0이면 개체수가 a면 이건 48,000이죠 그러면 변화율은 0입니다 따라서 최대 변화율은 그 점들의 중간에서 일어납니다 바로 24,000입니다 바로 24,000입니다 이것이 의마하는 것은 P에 대한 이차방정식인 이것이 P에 대한 이차방정식인 이것이 언제 최댓점이 되는지입니다 그건 근의 중간이고 근은 P가 0이거나 48,000일 때에 있습니다 따라서 이건 개체수가 24,000일 때 일어납니다 이런 문제는 처음엔 아주 무서워 보입니다 로지스틱 미분 방정식을 어떻게 풀고 분석할지 막막합니다 하지만 열쇠는 로지스틱 미분 방정식이 무엇인지 알고 말하는 것이 무엇인지 본 후 이걸 변화율이 개체수에 대한 함수임을 알고 이걸 변화율이 개체수에 대한 함수임을 알고 환경수용력은 t가 무한대에 가까워질 때임을 알며 t가 무한대에 가까워질 때 변화율은 0에 가까워집니다 그게 0에 가까워지면 개체수는 어때야 하는지 보면 됩니다