예제: 오일러법

우리가 이제 오일러법에 익숙해 졌으니 얼마나 오일러법을 이해했는지 문제에서 오일러법을 어떻게 적용하는지 알아보기 위해 연습문제를 풀어봅시다 문제에서 미분방정식이 주어졌습니다 y를 x에 대하여 미분한 도함수는 3x－2y와 같습니다 미분방정식을 만족하는 y를 y=g(x)라고 설정합시다 초기조건 g(0)＝k이고, k는 상수입니다 오일러법은 x＝0부터 적용되며 스텝 크기 1은 함숫값 g(2) ≒ 4.5 라는 근삿값을 제시합니다 이러한 조건에서 k의 값을 구하세요 다시 문제를 살펴보면 초기조건으로 x=0과 y=k가 주어졌고, 문제 풀이를 위하여 스텝 크기 1을 적용하여 오일러법을 사용할 것입니다 처음에는 구간 0~1을 잡고 그 다음에 구간 1~2를 잡습니다 그리고 g(2)의 근삿값은 4.5가 됩니다 우리가 k값을 알아보기 위해 문제에서 주어진 단서는 근삿값 g(2) ≒ 4.5라는 것을 이해해야 합니다 잠시 동영상을 멈추고 여러분 스스로 생각해보세요 스스로 생각해 보셨나요? 자, 이제 같이 해보도록 합시다 첫 번째 오일러법 강의에서 보인 것과 같은 방법으로 해결할 것입니다 표를 그려보도록 하겠습니다 x값에 대한 세로축을 만들고 y와 dy/dx의 값에 대한 축도 만들어 봅시다. 문제에서 주어진 초기 조건에서 시작해 봅시다 x＝0일 때, y＝k입니다 x＝0일 때, y＝k입니다 그렇다면 그 점에서의 미분계수는 얼마가 될까요? 3×0－2×k 이므로 －2k 가 됩니다 그렇다면 구간을 한 단계 올려봅시다 스텝 크기가 1로 주어졌으므로 x를 1만큼 증가시킵니다 x가 1이 되었을 때 그에 따른 새로운 y값은 무엇이 될까요? x가 1 증가할 때 기울기는 －2k 이므로 －2k의 크기로 한 번 커지는 것입니다 따라서 －2k를 더해줍니다 k＋(－2k)=－k 입니다 따라서 우리가 오일러법을 통해 구한 점은 점 (1, －2k)가 됩니다 그 점에서의 기울기는 어떻게 될까요? 기울기는 x좌표의 3배 그리고 y좌표의 2배인 3×1－2×(-k) 이므로 3＋2k와 같습니다 그리고 주어진 스텝 크기를 사용하여 한 단계 더 증가시킬 수 있습니다 2로 증가되었습니다 그리고 이 값을 잘 봐야 합니다 왜냐하면 g(2)값의 근삿값이 주어졌기 때문입니다 그렇다면 y는 x＝2 일 때 어떤 값을 갖게 될까요? 그 값을 k에 대하여 표현할 수 있다면 값이 4.5가 되어야 하므로 k를 구할 수 있습니다 그렇다면 그 값은 얼마가 될까요? x가 1 만큼 증가하였으므로 y는 3＋2k 만큼 한 번 증가하게 됩니다 －k＋(3＋2k)이므로 값은 3＋k가 됩니다 그리고 그 근삿값은 4.5가 되어야 합니다 따라서 3＋k＝4.5 입니다 양변에서 3을 빼면 양변에서 3을 빼면 k＝1.5가 되며, 그 값을 변형할 수 있습니다 주어진 초기조건에 따르면 g(0)＝1.5 입니다 따라서 조건을 만족하는 k의 값을 찾았으므로 문제 풀이가 완료되었습니다