오일러법

지난번에 보았듯이 미분방정식을 풀 때 초기 조건이 필요합니다 y(0)＝1 처럼 말입니다 그러나 이러한 초기 조건에서 구한 특정한 해는 y(x)＝e의 x 제곱입니다 y＝e의 x 제곱이라고 할 수도 있습니다 함수 표시를 쓰고 싶지 않으면 말입니다 이것은 옳은 답입니다 이것은 옳은 답입니다 이것은 분리가능한 미분방정식이고 쉽게 적분됩니다 그러나 세상의 많은 미분방정식은 그러나 세상의 많은 미분방정식은 풀기 힘듭니다 사실 많은 미분방정식들은 해석적으로 풀 수 없습니다 그럼 어떻게 해야할지 생각합시다 어떤 현상을 멋지게 모델링하여 어떤 현상을 멋지게 모델링하여 미분방정식으로 나타냈는데 풀 수 없다면 포기하실겁니까? 안됩니다 포기할 수 없습니다 왜냐하면 우리는 컴퓨터가 있기 때문입니다 컴퓨터는 수치계산법에 강합니다 수치계산법은 근사적으로 미분방정식의 해가 어떤 형태일지 대강 보여줍니다 한번 해봅시다 이 영상에서 우리는 단도직입적으로 특정 해에 근사시키는 수치계산법을 탐구할 수 있습니다 우리가 할 것은 표를 하나 그리겠습니다 표입니다 표를 그립니다 표를 그립니다 x 와 y x 와 y dy/dx dy/dx 축을 만들기 위해 표를 그릴 수 있습니다 xy 평면 위에 있는 x 와 y 를 표본 조사하고 x 와 y 를 표본 조사하고 그 점에서의 기울기가 될 우리의 처음 미분방정식을 잡습니다 우리의 처음 미분방정식을 잡습니다 우리는 이제 연관되어 있지만 기울기 축을 만드는 대신에 초기 조건에서부터 시작합시다 우리는 y(0)＝1 이라는 것을 알고 있습니다 미분방정식의 특수해는 이 조건을 포함하고 있습니다 그 점을 이용해봅시다 x＝0 에서 시작합시다 다른 색깔로 합시다 x＝0 일때 y＝1 이고 x＝0 일때 y＝1 이고 여기 이 점입니다 이 점에서 기울기를 구해봅시다 이 점에서 기울기를 구해봅시다 우리는 이 미분방정식을 통해 어떤 점이든지 도함수는 y 임을 알고 있습니다 어떤 점이든지 도함수는 y 임을 알고 있습니다 그러니까 이 경우는 기울기는 y, 즉 1입니다 일반적으로, 우리가 본 경우에서와 같이 도함수가 x 또는 x의 y로 표현될 때 도함수가 x 또는 x의 y로 표현될 때 여러분은 접선의 기울기를 알 수 있습니다 여러분은 접선의 기울기를 알 수 있습니다 예를 들어 여기서 기울기는 1입니다 예를 들어 여기서 기울기는 1입니다 수많은 점들에 대해서 이 시행을 하는 것 보다는 우리는 기울기가 변하는 것을 아는데 우리는 기울기가 변하는 것을 아는데 그러니까 대부분의 경우에서 기울기가 변하는데 다음 x값까지의 기울기가 고정되어있다고 가정합시다 그리고 이것을 통해 다음 y값을 예측해봅시다 여기서 무엇을 말하는 것이냐면 다음 x값을 설정할 때 일단 순서를 말해봅시다 간단하게 하기 위해서 △x＝1 이라고 합시다 x의 변화량은 1입니다 지금은 x＝1인데 그다음은 x＝1입니다 그다음은 x＝1입니다 이제는 다른 색깔로 합시다 다른 색깔로 합시다 그다음은 x＝1입니다 △x＝1 입니다 1을 더했습니다 우리는 이제 근사의 방법으로 기울기가 상수라고 가정합시다 이 구간에서 말입니다 이제 값은 무엇이냐면 x가 1만큼 증가할 때동안 y는 1 증가합니다 이제 y는 2가 됩니다 이제 y는 2가 됩니다 이 점에서 확인 가능합니다 이제 어떻게 하는지 감을 잡았을 것입니다 이 점이 곡선이었다면 해에서는 이것을 만족하고 기울기는 몇일지 생각합시다 기울기는 y와 같으니까 접선의 기울기 역시 y와 같습니다 이 때 접선의 기울기는 2와 같습니다 그것을 그려봅시다 그것을 그려봅시다 2가 되니까 이렇게 그립니다 접선의 기울기는 2가 됩니다 접선의 기울기는 2가 됩니다 x를 1만큼 한번 더 증가시키면 x는 2가 됩니다 y는 어떻게 되냐면 y는 어떻게 되냐면 x가 1 증가하니까 y방향으로는 2 증가합니다 기울기가 2이기 때문입니다 바로 다음 y값은 4입니다 y＝4 입니다 또 일정한 기울기를 상상해서 이렇게 점을 구할 수 있습니다 이 시행을 반복합니다 dy/dx를 미분방정식을 토대로 추정하면 y와 같고 이 점에서의 접선의 기울기는 y와 같고 그 값은 4입니다 x를 1만큼 더 더하면 아까 했던 시행을 또 하면 됩니다 우리는 x는 1씩 증가시키기로 했었는데 10씩 증가시켜도 되고 0.01만큼씩 증가했어도 됩니다 무엇이 더 정확한 결과를 가져오는지는 쉽게 추측할 수 있습니다 이제 한번 더 시행하면 기울기가 4이므로 이제 얼만큼 증가하냐면 x는 1만큼 y는 4만큼 증가합니다 이제 8이 됩니다 이제 점은 (3,8) 입니다 여기입니다 다음 직선은 이렇게 생겼습니다 이것을 하는 것만으로는 특수해가 어떤 모양인지는 근사하지 못했습니다 이것이 좋은 근사치인지 말할 수 있는지 의문점이 생길 수 있습니다 제 답변은 정확하다고 말할 수 있다는 것입니다 당신의 목표에 따라서 말입니다 저는 손으로 이것을 했지만, 컴퓨터로는 이렇게 하지 않습니다 손으로 계산을 하려고 △x도 크게 잡았습니다 더 좋은 근삿값을 바라신다면 △x를 작게 할 수 있습니다 해봅시다 다르게 해봅시다 △x＝1 대신에, △x＝1/2 로 설정합시다 다시 하면, x, y, dy/dx 첫번째 점은 알고 있습니다 첫번째 점은 알고 있습니다 이 초기 조건은 주어졌습니다 x＝0, y＝1 그러니까 접선의 기울기는 1입니다 이제는 x를 1/2씩 증가시키니까 x＝0.5 입니다 이제 y는 어떻게 추측하냐면 이 구간에서의 기울기가 여기 1이라고 합시다 기울기가 1이고 x를 0.5 증가시키니까 y는 0.5 증가되어서 1.5 입니다 이제는 (0.5, 1.5) 입니다 이 점입니다 보기 어렵긴 합니다 이제 새로운 기울기는 1.5입니다 이렇게 생겼습니다 그렇게 가파르게 보이지는 않습니다 좀 지저분해지고 있는 것 같습니다 어쨌든 이런 모양입니다 이 과정을 반복하면 기울기는 이제 1.5이고, x를 또 한번 0.5 증가시키면 x＝1 이고 0.5 증가시키고 기울기가 1.5이니까 y는 0.75 만큼 증가되어 2.25가 됩니다 이 점입니다 더 정확한 근사입니다 아까 했던 것은 원래 그래프의 y(1)＝e 인데 원래 그래프의 y(1)＝e 인데 2.7... 입니다 아까의 그래프에서 x＝1일때 y＝2였습니다 지금의 근사치는 2.25입니다 0.5씩 증가시키는 대신 0.1씩 증가시키면 더 가까워집니다 0.0001씩 증가시키면 더욱더 가까워집니다 이것이 흥미로운 점입니다 대부분의 미분방정식이나 이를 통해 얻은 기술들이나 수치계산법에 기초한 것들은 이것과 비슷합니다 보시겠지만 실제 미분방정식들이 실제로 해결되는 방법은 아니지만 해결되는 방법은 아니지만 시뮬레이션이 됩니다 분석적인 수치계산법을 통해서 말입니다 분석적인 수치계산법을 통해서 말입니다 이 방법의 이름은 무엇이냐면 이 방법의 이름은 무엇이냐면 오일러의 방법입니다 오일러 방법은 유명한 오일러의 이름을 따서 붙은 이름입니다 오일러 방법 어떠한 미분방정식이라도 근사하는 어떠한 미분방정식이라도 근사하는 좋은 방법일 뿐만 아니라 특히 이 미분방정식에서 자연상수 e를 더 정밀하게 구하는 방법입니다 재밌는 수업이었길 바랍니다