예제: 내함수 해를 가지는 분리 가능한 방정식

미분방정식이 있습니다 (cosy + 2) dy/dx = 2x (cosy + 2) dy/dx = 2x (cosy + 2) dy/dx = 2x x = 1일 때 y = 0 이라는 특정 해가 주어졌습니다 y = π일 때 x는 무엇일까요? 미분방정식을 볼 때 먼저 보는 것은 분리 가능한지 입니다 한변에는 y와 dy로만 다른 변에는 x와 dx로만 정리할 수 있을까요? 이렇게 해보죠 양변에 dx를 곱하면 여기서 dx는 변화량이 무한히 작은 x의 미분으로 볼 수 있습니다 여기서 dx는 변화량이 무한히 작은 x의 미분으로 볼 수 있습니다 (cosy + 2)dy = 2x dx (cosy + 2)dy = 2x dx (cosy + 2)dy = 2x dx 양변에 dx를 곱한 것입니다 x와 dx로부터 y와 dy를 분리시켰고 양변을 적분할 수 있습니다 양변을 적분하면 무엇이 나올까요? cosy의 y에 대한 부정적분은 siny 입니다 2의 y에 대한 부정적분은 2y 입니다 우변을 정리해보면 2x의 x에 대한 부정적분은 x²이고 각 변에 다른 상수를 더해야 한다고 할 수 도 있지만 한변에 C를 더해도 목적은 달성됩니다 이는 분리 가능한 미분방정식의 일반적인 해이고 x=1과 y=0을 대입하여 상수를 구할 수 있습니다 C에 대하여 풀어봅시다 y=0 일 때 x=1 입니다 sin0 + 2·0 이는 y에 0을 대입한 것입니다 x²에서 x = 1 이므로 1² + C 입니다 sin0 = 0 2·0 = 0 이므로 모두 0이 됩니다 따라서 0 = 1 + C 이고 C = -1 입니다 이러한 조건을 만족하는 미분방정식에 대한 해를 구할 수 있습니다 따라서 siny + 2y = x² - 1 입니다 siny + 2y = x² - 1 입니다 그렇다면 y = π 일 때 x는 무엇일까요? sinπ + 2π = x² - 1 sinπ = 0 이므로 양변에 1을 더하면 2π + 1 = x² 이고 x = ±√(2π + 1) 입니다 x = ±√(2π + 1) 입니다 따라서 정답은 ±√(2π + 1) 입니다 따라서 정답은 ±√(2π + 1) 입니다 이상입니다