예제: 분리 가능한 방정식의 특정 해 찾기

여러가지 형태의 방정식을 연습해 봅시다 x에 대한 y의 도함수는 미분방정식의 특수해의 그래프에서 지금 구해야 할 값은 x=3일 때의 y 값입니다 특수해 (1,-1)을 지나는 이 미분방정식에서 x=3일 때의 y값을 구해 봅시다 동영상을 잠시 멈추고 스스로 해보기를 권합니다 스스로 다 해 보셨다면, 분리할 수 있는 미분방정식은 이름에서 알 수 있듯이 y값으로부터 x값을 또는 모든 y와 dy로부터 x와 dx를 분리하는 것이 큰 단서입니다 그래서 어떻게 하나요? 음.. 다시 써 봅시다 dy/dx=2y^2입니다 양변에 dx를 곱합니다 dx를 곱해주면 dx를 변수르 취급하여 약분할 수 있습니다 그래서 dy=2y^2dy라는 식을 얻을 수 있습니다 아직 끝나지 않았습니다 2y^2를 좌변으로부터 얻어내야 합니다 양변을 2y^2으로 나누어 보겠습니다 양변을 2y^2으로 나누어 보면 주어진 미분방정식은 1/2 y^(-2)dy=dx가 되어 양변을 적분할 수 있는 형태가 된다 양변을 적분해보자 좌변은 어떻게 될 것인가? 지수를 증가시킨 후 그리고 그 값으로 나누어 보겠습니다 지수를 1 증가시킨 후 -1로 나눕니다 그래서 좌변은 -1/2 y^-1이 되며 이전 강의에서 했던 것처럼 적분상수 C를 더합니다 양변에 적분상수 C를 더합니다 그리고 이 적분상수는 알다시피 양변에 있는 임시적인 상수에 불과합니다 양변에서 적분상수 C를 빼 줍니다 즉 적분상수 C는 양변에서 사라집니다 dx를 적분하면 x가 됩니다 그러므로 우변은 x가 되고 우변에도 적분상수 C를 더합니다 좌변을 y로 만들기 위해 양변에 -2를 곱합니다 그러면 좌변과 우변에 -2를 곱하게 되는 것이므로 준 식은 y^-1 = -2x가 됩니다 적분 상수는 이전 식에 의해 적분 상수에 -2가 곱해지게 되나 이는 임시 상수입니다 양변에 역수를 취해 주면 y = 1/(-2x+C)가 됩니다 문제가 주는 특수해를 활용하면 C에 대한 값을 얻을 수 있습니다 x에 1을 대입하고 y에 -1을 대입하면 좌변은 -1이고 우변은 1/(-2+C)가 됩니다 1/(-2+C) = 1/(C-2)입니다 스크롤을 조금 내리겠습니다 양변에 대하여 (C-2)를 곱해 주면 2-C = 1 이 됩니다 양변에 대하여 2를 빼주면 -C=-1이 되므로 C=1이 됩니다 즉 y=1/(-2x+1)입니다 거의 끝났습니다 그냥 특수해를 구하는 것이 아닙니다 x에 3을 대입하면 y의 값은 1/(-6+1)이 되어 y의 값은 1/-5, 즉 - 1/5가 됩니다 수고하셨습니다