미분방정식에 대한 특정 해: 지수 방정식

7을 대입한 함수 f(7)은 40＋5×e^7이고 함수 f'(x)는 e^x입니다 함수 f'(x)는 e^x입니다 그러면 f(0)는 무엇일까요? f(0)를 계산하려면 f'(x)의 역도함수를 구해야 하고 역도함수에 필요한 적분상수를 구해야 합니다 역도함수에 필요한 적분상수를 구해야 합니다 f(7)이 이 값들을 갖는다는 사실을 이용합시다 f(7)이 이 값들을 갖는다는 사실을 이용합시다 마치 하나의 표현 같지만 그냥 수에 불과합니다 그냥 수에 불과합니다 여기엔 아무 변수도 없네요 그러면 이 식을 적분상수를 구하기 위해 사용할 수 있고 그러면 이 식을 적분상수를 구하기 위해 사용할 수 있고 최종적으로 완전한 f(x)를 얻을 수 있습니다 최종적으로 완전한 f(x)를 얻을 수 있습니다 f(0)의 값 또한 구할 수 있겠죠 해봅시다 만약 f'(x)＝5×e^x이라면 f(x)는 f'(x)의 역도함수와 f(x)는 f'(x)의 역도함수와 즉 5×e^x의 도함수와 같은 값을 가집니다 여기서 지수함수의 신기한 성질을 이용해봅시다 여기서 지수함수의 신기한 성질을 이용해봅시다 순서대로 해볼게요 5를 적분 밖으로 꺼낼 수 있고 조금 더 확실해졌죠 e^x의 역도함수는 당연히 그냥 e^x입니다 왜냐하면 e^x의 도함수는 e^x이니까요 왜냐하면 e^x의 도함수는 e^x이니까요 항상 신기한 현상을 발견하여 e^x의 도함수나 부정적분을 쉽게 다룰 수 있습니다 즉 이는 5×e^x＋C가 됩니다 확인해 봅시다 5×e^x＋C를 미분해 볼게요 5×e^x을 미분하면 당연히 5×e^x이 나오네요 당연히 5×e^x이 나오네요 C를 미분하면 0이 나오므로 미분 후에는 볼 수 없네요 그럼 이번에는 이 정보들을 이용해서 C의 값을 찾고 그럼 이번에는 이 정보들을 이용해서 C의 값을 찾고 확실한 f(x)를 알기 때문에 f(0)를 계산해 낼 수 있겠네요 우리는 f(7)의 값이 즉 x가 7의 값을 가질 때 어떤 값을 가지는지 계산할 수 있습니다 40＋5×e^7을 계산해 봅시다 즉 5×e^7에 C를 더한 것은 40＋5×e^7과 같습니다 40＋5×e^7과 같습니다 거의 다했네요 물론 이 식은 x에 대한 식이지만 물론 이 식은 x에 대한 식이지만 그냥 적어볼게요 즉 f(7)을 구하기 위해서는 만약 이 식이 f(x)라면 그냥 x에 7을 넣고 만약 이 식이 f(x)라면 그냥 x에 7을 넣고 f(7)을 구하면 되네요 즉 우리는 f(7)이 이 값을 갖는다는 것을 알고 있고 즉 우리는 f(7)이 이 값을 갖는다는 것을 알고 있고 이 정보들을 주고 있습니다 하지만 이 식을 보면 C의 값을 구하기가 아주 쉽습니다 5×e^x을 옆으로 빼게 되면 5×e^x을 옆으로 빼게 되면 C의 값이 40임을 확인할 수 있네요 그러면 f(x)를 다시 적어봅시다 f(x)=5×e^x＋C f(x)=5×e^x＋C f(x)=5×e^x＋40 이제 f(0)의 값을 구합시다 이제 f(0)의 값을 구합시다 f(0)=5×e^0＋40입니다 f(0)=5×e^0＋40입니다 e^0은 1이고 1의 5배이므로 5＋40＝45 즉 45의 값을 가지네요 끝났습니다 커넥트 번역 봉사단 | 윤진희