미분방정식이란?

여러분 이제 미분방정식이라는 개념과 친숙해져 봅시다. 앞으로 보겠지만, 미분방정식은 자연적 현상들을 이해하고 분석해서 규칙을 수립하고, 시뮬레이션을 통해 미지의 상황까지 예측할 수 있게 합니다. 자세한 얘기는 나중에 하고요. 일단은 미분방정식이라는 것이 무엇인지부터 살펴보도록 하시죠. 미분방정식을 수식으로 써본다면, 여기 하나의 예를 들어보죠, y를 두번 미분한 것 더하기 2 곱하기 y를 한번 미분한 것은 3 곱하기 y와 같다는 수식인데요, 이 식은 미분방정식입니다. 다른 표기법으로, y를 x에 대한 함수 y=f(x)로 표현하여 대입할 수 있습니다. 함수 f(x)의 x에 대한 2계 도함수 더하기 2곱하기 1계 도함수는 3 곱하기 함수와 같다. 아니면 라이프니츠 표기법을 쓰면 x에 대한 y의 2계 도함수 더하기 2 곱하기 x에 대한 y의 1계 도함수는 3 곱하기 y와 같다는 수식입니다. 세 개 수식 모두 동일한 의미를 갖는데요, 무슨 의미냐면, 두 번 미분한 것에 한 번 미분한 것의 두 배를 더한 것이 자기 자신의 세 배와 같은 함수를 찾아보자 이런 의미입니다. 다시 한번 명확하게, 이 세 식은 완전히 동일한 의미를 갖습니다. 그리고 방금 제 설명에서 눈치 채셨을 지도 모르겠는데, 미분방정식의 답, 즉 해는 어떤 함수이거나, 어떤 특정한 종류의 함수들입니다. 그냥 어떤 한 값 또는 어떤 종류의 값들이 아닌 거죠. 그래서 해는, 미분방정식의 해는 함수, 또는 함수의 집합, 또는 특정 부류의 함수들입니다. 전에 알던 방정식과는 다른 이 중요한 차이점을 명확히 이해하는 것이 중요합니다. 글자로 한번 적어보죠. 기존에 알던 방정식, 사실 미분방정식도 전부터 있기는 했습니다만, 여러분이 모르셨고, 기존에 알던 종류의 방정식인 대수방정식을 써 보겠습니다. 대수방정식은 대략 이런 종류 2차 방정식을 예로 들겠습니다. x의 제곱 더하기 3x 더하기 2는 0과 같다. 이 대수방정식의 해는 숫자, 숫자들일 겁니다. 방정식을 풀어서 해를 구할 수 있죠. 이렇게 x+2와 x+1의 인수로 분해하면 x=-2, 아니면 x=-1입니다. 여기서 방정식을 만족시키는 답은 숫자, 또는 숫자들의 집합들이죠. 이번에는 함수와 그 함수의 도함수들 간의 관계입니다. 그래서 해, 또는 해들은 함수이거나, 함수의 집합일 것입니다. 좀 더 구체적으로 설명해 볼까요. 이 세 개의 식들, 같은 의미를 갖는, 이 식들의 해는, 실제로 어떻게 생겼을까요? 이걸 이쪽으로 좀 이동, 좀 이동시켜 보죠. 그래서 우린 해들이 어떻게 생겼을지 생각해 볼 수 있습니다. 이걸 좀 지워보죠. 여기 써 놨던 내용 말이죠. 자 이제 제가 해의 예를 들어 드리겠습니다. 얘네들이 진짜로 이 미분방정식의 해라는 걸, 확인하겠습니다. 이 사례를 통해 여러분이 미분방정식의 해가 어떻게 생겼는지를 알게 되기를 바랍니다. 그리고 많은 경우 해가 하나 이상이란 점도요. 사실 아예 어떤 종류의 함수들 모두가 해가 될 수도 있죠. 그래서 이 미분방정식의 해 하나는 첫 번째 해를 이렇게 적어 보겠습니다. 하나의 해, y_1 이라고 부르죠. x에 대한 함수라는 점을 명확하게 하기 위해 y_1(x) 라고 표시할 수도 있는데요 y_1(x)는 e^-3x 와 같다, 이 함수가 하나의 해입니다. 이 시점에서, 여러분 모두 동영상을 잠시 멈추고, 이 y_1(x)의 1계 도함수, 2계 도함수를 계산해서, 실제로 이 함수가 이 미분방정식을 만족시킨다는 것을 확인하시기를 권장합니다. 자 여러분 모두 계산해서 확인하셨죠? 같이 한번 계산해 보죠. 이게 y_1인데요, 그래서 y_1의 1계 도함수는 구할 때 연쇄법칙을 적용해서요, x에 대해서 -3x을 미분하면 -3이 나오죠. 그리고 e^-3x를 -3x에 대해 미분하면 그냥 e^-3x죠. 그리고 y_1에 대한 2계 도함수를 구하면 똑같은 방법을 통해 역시나 -3x의 x에 대한 미분은 -3이니 -3 곱하기 -3은 9가 돼서 9e^-3x가 나옵니다. 이제 이 함수들을 이 미분방정식에 대입해서 참이 되는지 확인만 하면 되죠. 확인해 봅시다. y_1의 2계 도함수는 바로 여기 이 항에 대입하면 되니까, 더하기 2 곱하기 1계 도함수가 되죠. 그게 2 곱하기 여기 이 항이고요, 그래서 -6이 되죠, 그래서 + -6e^-3x라고 쓰겠습니다. 자 여기서 보세요 2계 도함수 더하기 1계 도함수 곱하기 2는 y 곱하기 3과 같다, 즉, 미분방정식을 만족시키려면, 같아야 한다는 걸 말이죠. 자 3곱하기 y_1은 이렇습니다. 3e^-3x 이 등식이 성립하는지 확인할까요? 여기 이 두 항 9e^-3x 빼기 6e^-3x 하면 3e^-3x가 되죠. 그러니 등식이 진짜 만족 되죠. 그러니까 y_1은 정말 이 미분방정식의 해가 됩니다. 앞으로 보겠지만, 이것이 유일한 해는 아닙니다. 예를 들어 y_2는 e^x 역시 이 미분방정식을 만족시킨다고 해 봅시다. 여기서 다시, 여러분 모두 동영상을 잠시 멈추고 진짜 만족시키는지를 확인해 보시기 바랍니다. 확인해 보셨죠? 1계 미분은 아주 간단하죠, e^x입니다. 2계 미분, e의 지수함수의 아주 중요한 성질인데, 역시 e^x, 역시 e^x라는 거죠. 그래서 2계 도함수, 같은 색으로 쓰겠습니다. 2계 도함수 e^x 더하기 2곱하기 e^x 는 정말로 3 곱하기 e^x와 같은지, 보니까 정말 같죠. e^x + 2e^x = 3e^x 그래서 y_2 역시 이 미분방정식의 해입니다. 자 이제 시작입니다. 다음 몇 개의 동영상에서 이를 더 자세히 탐구하겠습니다. 미분방정식의 해는 어떤 모양인지, 해에는 어떤 종류들이 있는지, 해를 구하는 기법은 어떤 것들이 있는지, 미분방정식 해를 눈으로 볼 수 있게 가시화하는 방법들이던지, 기타 총체적인 도구들을 제공해 드리겠습니다.