주요 내용
예제: 두 극곡선 사이의 넓이
이번에는 두 개의 극곡선 사이의 넓이를 구하는 연습을 해봅시다.
동영상 대본
두 극좌표계 그래프가 다음 식을 만족합니다 r = 3sinθ와 r = 3cosθ 그리고 이 파란 영역의 넓이를 구해야 합니다 두 원이 포개진 부분이지요 여기서 영상을 멈추고 직접 풀어 보세요 잘 푸셨나요? 여기서 관심이 있는 부분은 두 극좌표계 그래프의 경계 영역입니다 그리고 여기에서 교차하고 있습니다 자세히 보면, θ = π/4일 때 이 두 그래프가 교차하고 있습니다 그리고 이것은 직접 확인 가능합니다 cos(π/4)는 sin(π/4)와 같으므로 이 경우에 두 그래프가 만나게 됩니다 즉 θ = π/4 위에 교점이 생기게 됩니다 이것이 잘 와닿지 않는다면, 두 함수를 같다고 놓고 어떤 θ값에서 그 식을 만족하는지 찾아보면 됩니다 그러나 여기서는 그 θ 값이 쉽게 보이죠 그래서 θ = π/4 입니다 그리고 핵심은 θ가 0에서 π/4사이 일 때, 영역은 붉은 원, r = 3sinθ 의 일부를 경계로 가집니다 그리고 θ가 π/4에서 π/2 사이 일 때, 영역은 검은 원, r = 3cosθ 의 일부를 경계로 가집니다 이제 전체 영역을 이 두 영역으로 나눌 수 있습니다 여기 첫 번째 영역은 이미 알듯이 1/2 곱하기 경계인 0부터 π/4까지의 (3sinθ)의 제곱의 θ에 대한 정적분이 됩니다 이것이 주황 영역이 됩니다 이 푸른 영역은 1/2 곱하기 경계인 π/4부터 π/2까지의 (3cosθ)의 제곱의 θ에 대한 정적분이 됩니다 이것이 이 영역을 나타냅니다 여기서 두 영역의 넓이가 같다는 것을 눈치채셨나요? 이 두 원은 이 선에 대해 대칭입니다 θ = π/4 즉 이 두 넓이가 같으므로 이 둘 중 하나만 풀고 두 배를 하면 전체 넓이를 구할 수 있습니다 직접 풀어서 확인해봐도 좋습니다 하지만 저는 여기서 두 배를 해서 전체 영역을 구할 것입니다 즉 이 주황 영역의 두 배만 하면 전체 영역인 0부터 π/4까지의 9sin^2(θ) dθ의 정적분을 얻습니다 이것은 직접 계산할 수도 있고, 계산기 등을 이용해서 풀 수도 있습니다 여기서는 해석적으로 풀어보겠습니다 sin^2(θ)는 1/2(1-cos(2θ))입니다 삼각법의 성질에 의한 것이죠 삼각법 수업에서 자주 봤던, 여기에 적어놓겠습니다 sin^2(θ) = 1/2(1-cos(2θ)) 그래서 이것을 이것으로 대체하면, 1/2을 꺼내면, 9/2 곱하기 0부터 π/4까지의 (1-cos(2θ))dθ의 정적분과 같아집니다 이것은 다시 9/2 1의 부정적분은 θ이고 cos(2θ)는 sin(2θ)의 반이 됩니다 그냥 여기 이렇게 -1/2sin(2θ) 치환적분법을 이용해 이렇게 할 수도 있지만, 이 정도는 암산으로 가능합니다 sin(2θ)를 미분하면 2cos(2θ)가 되므로 -1/2을 곱해서 원래 식의 계수를 맞춰주면 됩니다 그러면 이 식을 0부터 π/4에서 계산해 봅시다 운 좋게도, θ=0일 때 전체 식이 0이 되므로 그냥 θ=π/4일 때만 계산하면 됩니다 9/2 곱하기 π/4 - 1/2sin(π/4의 두 배는..) sin(π/2)이고 이것은 1이 되므로 그러므로 π/4에 여기 이것은 1이므로 생략하고 9/2 곱하기, π/4 - 1/2 또는 (π - 2) / 4로 쓸 수 있습니다 이렇게 쓰거나 다음처럼 분모분자를 곱해서 9π - 18 나누기 8로 쓰면 됩니다