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동영상 대본

두 극좌표계 그래프가 다음 식을 만족합니다 r = 3sin⁡θ와 r = 3cosθ 그리고 이 파란 영역의 넓이를 구해야 합니다 두 원이 포개진 부분이지요 여기서 영상을 멈추고 직접 풀어 보세요 잘 푸셨나요? 여기서 관심이 있는 부분은 두 극좌표계 그래프의 경계 영역입니다 그리고 여기에서 교차하고 있습니다 자세히 보면, ⁡θ = π/4일 때 이 두 그래프가 교차하고 있습니다 그리고 이것은 직접 확인 가능합니다 cos(π/4)는 sin(π/4)와 같으므로 이 경우에 두 그래프가 만나게 됩니다 ⁡즉 θ = ⁡π/4 위에 교점이 생기게 됩니다 이것이 잘 와닿지 않는다면, 두 함수를 같다고 놓고 ⁡어떤 ⁡θ값에서 그 식을 만족하는지 찾아보면 됩니다 그러나 여기서는 그 ⁡θ 값이 쉽게 보이죠 그래서 ⁡θ = ⁡⁡π/4 입니다 그리고 핵심은 ⁡θ가 0에서 ⁡π/4사이 일 때, 영역은 붉은 원, r = 3sin⁡θ 의 일부를 경계로 가집니다 그리고 ⁡θ가 ⁡π/4에서 ⁡⁡π/2 사이 일 때, 영역은 검은 원, r = 3cos⁡θ 의 일부를 경계로 가집니다 이제 전체 영역을 이 두 영역으로 나눌 수 있습니다 여기 첫 번째 영역은 이미 알듯이 1/2 곱하기 경계인 0부터 π/4까지의 (3sinθ)의 제곱의 ⁡θ에 대한 정적분이 됩니다 이것이 주황 영역이 됩니다 이 푸른 영역은 1/2 곱하기 경계인 ⁡π/4부터 π/2까지의 (3cosθ)의 제곱의 ⁡θ에 대한 정적분이 됩니다 이것이 이 영역을 나타냅니다 여기서 두 영역의 넓이가 같다는 것을 눈치채셨나요? 이 두 원은 이 선에 대해 대칭입니다 ⁡θ = π/4 즉 이 두 넓이가 같으므로 이 둘 중 하나만 풀고 두 배를 하면 전체 넓이를 구할 수 있습니다 직접 풀어서 확인해봐도 좋습니다 하지만 저는 여기서 두 배를 해서 전체 영역을 구할 것입니다 즉 이 주황 영역의 두 배만 하면 전체 영역인 ⁡0부터 ⁡π/4까지의 9sin^2(⁡θ) d⁡θ의 정적분을 얻습니다 이것은 직접 계산할 수도 있고, 계산기 등을 이용해서 풀 수도 있습니다 여기서는 해석적으로 풀어보겠습니다 sin⁡^2(θ)는 1/2(1-cos(2⁡θ))입니다 삼각법의 성질에 의한 것이죠 삼각법 수업에서 자주 봤던, 여기에 적어놓겠습니다 sin^2(⁡θ) = 1/2(1-cos(2⁡θ)) 그래서 이것을 이것으로 대체하면, 1/2을 꺼내면, 9/2 곱하기 0부터 ⁡⁡π/4까지의 (1-cos(2⁡θ))d⁡θ의 정적분과 같아집니다 이것은 다시 9/2 1의 부정적분은 ⁡θ이고 cos(2⁡θ)는 sin(2⁡θ)의 반이 됩니다 그냥 여기 이렇게 -1/2sin(2⁡θ) 치환적분법을 이용해 이렇게 할 수도 있지만, 이 정도는 암산으로 가능합니다 sin(2⁡θ)를 미분하면 2cos(2⁡θ)가 되므로 -1/2을 곱해서 원래 식의 계수를 맞춰주면 됩니다 그러면 이 식을 ⁡0부터 ⁡π/4에서 계산해 봅시다 운 좋게도, ⁡θ=0일 때 전체 식이 0이 되므로 그냥 ⁡θ=⁡π/4일 때만 계산하면 됩니다 9/2 곱하기 ⁡π/4 - 1/2sin(⁡π/4의 두 배는..) sin(⁡π/2)이고 이것은 1이 되므로 그러므로 ⁡π/4에 여기 이것은 1이므로 생략하고 9/2 곱하기, ⁡⁡π/4 - 1/2 또는 (⁡π - 2) / 4로 쓸 수 있습니다 이렇게 쓰거나 다음처럼 분모분자를 곱해서 9⁡π - 18 나누기 8로 쓰면 됩니다