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주요 내용
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동영상 대본

그래서 이 파란색의 어두운 곡선은 r=1-cosθ의 그래프입니다 물론 우리는 여기서 극좌표를 다루고 있습니다 그리고 제가 하고 싶은 것은 이 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 알아낼 수 있냐는 것입니다 한번 동영상을 멈추고 혼자 시도해보길 바랍니다 이제 같이 해봅시다 우리는 이미 직감적으로 공식을 떠올렸습니다 우리는 이미 직감적으로 공식을 떠올렸습니다 극 그래프에 의해 둘러싸인 영역의 넓이는 시작점의 θ에서 끝점의 θ까지 ½∫(r(θ))²dθ과 같습니다 시작점의 θ에서 끝점의 θ까지 ½∫(r(θ))²dθ과 같습니다 여기서는 시작점의 θ를 α로 끝점의 θ를 β로 하겠습니다 그래서 우리는 이 상황을 함수에 적용시키기만 하면 됩니다 이 경우에는 영역이 정적분한 것의 절반과 같습니다 그럼 우리의 α와 β는 무엇일 것 같습니까? 우리는 θ가 0라디안일 때 시작해서 이렇게 쭉 따라갈 겁니다 θ가 0라디안일 때 1-1이고 바로 여기에 있을 때입니다 그리고 θ가 2π라디안이 될 때까지 쭉 돕니다 2π라디안에 다시 도달하면 cos2π는 1이기 때문에 1-1은 다시 0이 됩니다 결국 다시 같은 지점으로 온 것입니다 그래서 시작점 θ는 0라디안이고 끝점 θ는 2π라디안입니다 그럼 (r(θ))²는 무엇일 것 같습니까? (r(θ))² 부분을 이 색으로 표현하겠습니다 (r(θ))² 부분을 이 색으로 표현하겠습니다 그냥 1-cosθ입니다 (1-cosθ)²이고 물론 뒤에 dθ도 있습니다 물론 뒤에 dθ도 있습니다 이제 적분만 하면 됩니다 여러분이 원한다면 언제든지 스스로 적분해보길 바랍니다 이제 같이 해봅시다 제가 할 것은 0에서 2π까지 적분하고 그것의 절반을 구하는 것입니다 이것을 전개해보겠습니다 전개하면 (1-2cosθ+cos²θ)dθ가 됩니다 전개하면 (1-2cosθ+cos²θ)dθ가 됩니다 전개하면 (1-2cosθ+cos²θ)dθ가 됩니다 우리는 1을 어떻게 부정적분하는지 알고 -cosθ도 부정적분할 수 있지만 cos²θ는 약간 어렵습니다 cos²θ는 약간 어렵습니다 보자마자 바로 알긴 어렵고 치환적분이나 비슷한 것을 해야합니다 운이 좋게도, 우리에겐 삼감함수 반각 공식이 있고 우리는 cos²θ이 우리는 cos²θ이 ½(1+cos2θ)와 같다는 것을 알고 있습니다 삼각법 시간에 배웠었습니다. 아직 안 봤다면, 지금 배웠으니 괜찮습니다 삼각함수 공식들 중에서도 여러분이 무언가를 부정적분하거나 적분할 때 반각 공식이 특히 유용하다는 것을 알 수 있습니다 그럼 시작해봅시다 여기있는 cos²θ를 ½(1+cos2θ)로 바꿔씁시다 그리고 천천히 살펴보면 방법이 보일 겁니다 제 생각에는 이렇게 하는 게 좋을 것 같습니다 일단 ½을 쓰고 일단 ½을 쓰고 부정적분을 시작해봅시다 부정적분을 시작해봅시다 1을 θ에 대해 부정적분하면 θ가 될 것이고 -2cosθ를 부정적분하면 -2sinθ가 될 것입니다 -2sinθ가 될 것입니다 여러분은 미분을 할 수 있습니다 sin을 미분하면 cos이고 -2는 sinθ를 미분한 것에 곱해집니다 -2는 sinθ를 미분한 것에 곱해집니다 그래서 -2cosθ입니다 그 다음으로 ½(1+cos2θ)에 분배법칙을 적용합시다 그러면 ½+½cos2θ가 됩니다 그러면 ½+½cos2θ가 됩니다 이 상태로 계속 진행합시다 ½을 부정적분하면 ½을 부정적분하면 이 부분이 ½θ가 됩니다 ½θ가 됩니다 이제 ½(cos2θ)를 부정적분 해봅시다 이제 ½(cos2θ)를 부정적분 해봅시다 sin2θ를 미분한 값은 2cos2θ와 같으므로 이것을 부정적분한 것은 cos2θ를 부정적분한 것은 원한다면 치환적분도 할 수 있지만 이것은 암산으로도 할 수 있습니다 cos2θ를 부정적분 한 것은 ½sin2θ와 같습니다 그리고 여기에 ½이 있습니다 어떻게 할지 고민해봅시다 제가 무엇의 부정적분을 하고 있는지 보여주겠습니다 바로 이것과 이것이 되겠습니다 그래서 ¼sin2θ를 여기에 더하면 됩니다 만약 여기 마지막 부분이 헷갈린다면 이것의 미분을 하기를 권장합니다 sin2θ를 미분한 것은 2cos2θ이고 ¼에 2를 곱하면 ½이므로 ½cos2θ를 얻는 것입니다 그리고 2π와 0을 대입합시다 그리고 2π와 0을 대입합시다 그래서 답을 구할 때 아마 한 가지가 눈에 금방 띌 것인데 0을 대입할 때입니다 이 식 전체가 모든 항이 0이 될 것이고 그래서 모든 것이 단순화될 것입니다 그래서 2π의 경우만 구해서 반으로 나누면 됩니다 그래서 2π의 경우만 구해서 반으로 나누면 됩니다 이것은 ½에 2π를 곱한 것과 같고 sin2π는 0입니다 그러니까 그냥 0이 됩니다 ½에 2π를 곱한 것은 π이므로 더해줍시다 sin(2×2π)는 sin4π이므로 여전히 0입니다 결국 이 또한 0이 되고 이제 거의 끝났습니다 ½×3π을 정리하면 3π/2입니다 ½×3π을 정리하면 3π/2입니다 이 값이 이 영역의 넓이입니다 커넥트 번역 봉사단 | 류한준