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주요 내용

이차원 운동 (적분)

변화율 벡터가 주어진 이차원 운동을 분석하려면 각 방향의 변위를 따로 찾아야 합니다. 그리고 나서 그것을 새 위치를 찾는 데 사용하거나 피타고라스의 정리를 이용해 변위의 크기를 찾는 데 쓸 수 있습니다.

동영상 대본

입자는 xy 평면에서 움직이며 속도 벡터는 v(t)입니다 따라서 표기법을 사용하면 이는 속도를 시간의 함수로 생각한 x는 1/t+7이며 속도를 시간의 함수로 생각한 y는 t^4입니다 이는 t>=0일 경우입니다 t = 1일 경우 입자는 (3, 4)에 위치합니다 따라서 문제의 첫 부분은 t = 1과 t = 3사이에 입자가 움직인 변위를 구해야 합니다 그리고 입자의 위치를 반올림하여 소수 둘째자리까지 나타냅니다 언제나 그랬듯이 영상을 멈추고 계산기를 사용해야 할 것입니다 영상을 멈추고 혼자서 풀어보세요 이와 같은 문제를 1 차원에서 풀어봤지만 이제는 2 차원에서 풀어야 합니다 여기서 해야 할 것은 차원을 분리 하는 것입니다 여기서 해야 하는 것은 x축 방향의 변위를 구하고 이는 x의 변화입니다 수직 방향의 변위 혹은 y의 변화를 구합니다 이를 이용하여 피타고라스의 정의를 사용하고 변위의 총 값을 구하고 x와 y의 변화를 안다면 x의 변화를 3에 더하고 y의 변화를 4에 더합니다 입자의 위치를 t = 3에서 찾기 위해서죠 한 번 구해봅시다 t = 1부터 t = 3까지 x의 변화는 이는 t = 1부터 t = 3까지의 x 방향으로의 변화율의 적분입니다 따라서 x 방향으로 1/t+7이 있습니다 이는 시간의 함수로 x 방향으로의 속도이며 1/t+7 dt입니다 이는 어떤 값과 같나요? u-대입을 사용할 수 있습니다 익숙하지 않지만 t+7의 도함수는 1이라는 것을 알 수 있습니다 따라서 이를 1/t+7이라 생각할 수 있으며 t+7에 대하여 부정적분을 구합니다 따라서 t+7의 절댓값의 로그를 얻으며 해당 값의 3 에서의 값을 구하고 여기서 뺍니다 1에서의 값이요 따라서 이는 10의 절댓값의 로그이며 이는 log10 빼기 8의 절댓값의 로그이며 이는 그냥 log8입니다 따라서 이는 log10/8입니다 로그의 법칙을 사용하면 말이죠 이는 log1.25이고 계산기를 사용하여 구해봅시다 사실 그냥 금방 구하고 y의 변화를 구해봅시다 y의 변화는 1부터 3까지 적분을 합니다 해당 시간 안의 변화를 구해야 하죠 그리고 속도에서 y의 변화가 무엇인가요? 이는 t^4 dt입니다 이 값은 역 멱의 법칙을 사용하여 t^5/5의 3과 1일 경우의 값을 구하고 따라서 이는 3^5/5 243/5 빼기 1^5/5 즉 -1/5입니다 이는 즉 242/5 48.4 48.4입니다 계산기를 꺼내서 log1.25를 계산하면 1.25 log 소숫점 셋째 자리에서 반올림을 합니다 이는 0.22입니다 약 0.22입니다 따라서 x의 변화와 y의 변화를 구했고 이를 통해서 문제의 두 번째 부분을 구할 수 있습니다 t = 3일 경우 입자의 위치가 어디인가요? 이는 t = 1인 경우의 위치이며 각 부분에 해당 변화를 더합니다 따라서 여기에 따라서 이는 3 더하기 t = 1부터 t = 3까지 x의 변화입니다 그리고 4 더하기 y의 변화입니다 따라서 이는 3 더하기 x의 변화량입니다 이는 약 3.22이며 4 더하기 y의 변화인 52.4입니다 52.4입니다 하지만 첫 번째 문제를 풀어야 합니다 변위의 크기는 얼마인가요? 피타고라스의 정의를 사용해봅시다 그림을 한 번 그려볼게요 그림을 그리면 이해하기 쉽습니다 따라서 초기 위치는 (3, 4)에 위치하고 (3, 4) 따라서 여기 있습니다 따라서 x의 변화량이 크지 않습니다 x의 변화량은 0.22입니다 x의 변화량은 해당 방향으로 얼마 안움직이며 y의 변화량은 48.4입니다 여기의 변화는 크죠 이 방향으로 화면 밖으로 나갑니다 하지만 이를 더하면 이 벡터들을 더하면 여기서 y의 변화량을 적용하고 빗변을 구합니다 빗변의 길이는 변위의 크기를 나타냅니다 구해봅시다 따라서 변위의 크기는 x의 변화량 제곱 더하기 y의 변화량 제곱의 제곱근입니다 이는 피타고라스의 정의의며 이 값은 무엇인가요? 계산기를 씁시다 이는 x의 변화량이죠 제곱을 하고 더하기 48.4 제곱 더하기 48.4 제곱은 이 값과 같습니다 제곱근을 씌웁니다 이 값은 이 값은 이와 같습니다 변위의 크기는 48입니다 소숫점 둘째 자리에서 반올림을 하면 48.4입니다 따라서 대략 48.4입니다 끝났네요 명심할 점은 총 변위가 48.4이고 y의 변화량과 같아 보입니다 이와 같은 이유는 y의 변화량이 정확히 48.4이고 변위의 크기가 48.4보다 약간 크기 때문입니다 하지만 소숫점 둘째 자리에서 반올림을 하면 48.4입니다 이와 같은 이유는 x의 변화량이 매우 작기 때문입니다 x의 변화량이 0.22입니다 y의 변화량은 매우 컸고 따라서 빗변의 길이가 y의 변화량보다 살짝 길었으며 결과가 다음과 같습니다 주로 변위의 크기가 x의 변화량 혹은 y의 변화량보다 클 것입니다