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주요 내용

매개변수 곡선 호 길이

매개변수 곡선의 호 길이를 구하는 공식에 대한 개념을 소개합니다.

동영상 대본

그래프를 한 번 봅시다 x 좌표와 y 좌표가 각각 x 좌표와 y 좌표가 각각 세 번째 변수인 t의 함수입니다 x는 t의 함수이며 y도 t의 함수입니다 이 내용이 이해가 안된다면 칸아카데미에서 매개 방적식 동영상을 복습하세요 이 문제에 대해 생각을 해보면 이번 영상에서는 대략적으로 설명하겠습니다 다음 영상에서 더 정확한 예제로 설명을 드리겠습니다 이번 문제에서 볼 내용은 t = a일 경우의 값을 구하는 것입니다 따라서 이게 t = a일 경우의 위치입니다 이런 경우에는 점이 x(a) y(a)입니다 이게 좌표입니다 그리고 t = a에서 t = b로 증가하면 곡선이 다음과 같습니다 따라서 이 경우가 t = b일 경우입니다 t = b 따라서 이 점의 좌표가 x(b) 그리고 y(b)입니다 실제 곡선의 길이를 어떻게 구할지 봅시다 t(a)부터 t(b)까지의 호의 길이이죠 이를 생각해보면 곡선을 확대해서 t의 값에 작은 변화가 있을 경우 어떻게 될까요? 아주 작은 값의 변화요 여기 이 점에서 시작하여 t의 값에 작은 변화가 있을 것입니다 따라서 이 점부터 이 점까지 움직입니다 t의 값에 아주 작은 값의 변화가 있죠 이는 보이는 것보다 더 작을 것입니다 이보다 더 작게 그리면 잘 안보이겠죠 이는 저희가 보는 호에서 아주 작은 변화이고 이 길이를 찾고 싶습니다 이제 이를 x축 방향 그리고 y축 방향으로 움직인 것으로 문제를 분할해 봅시다 여기 이 x축 방향으로는 여기 이 x축 방향으로는 아주 작은 x값의 변화가 있으며 이는 어떤 값과 같나요? 이는 t에 대하여 x가 t에 대하여 변하는 변화율에 x가 t에 대하여 변하는 변화율에 t의 변화량을 곱한 것입니다 이는 약간 복잡합니다 미분 표기법을 사용했으며 미분 표기법은 변수에서 무한히 작은 변화를 나타냅니다 이는 정식적인 증명이 아니지만 이는 매개 방정식을 구할 경우 호의 길이를 구하는 법을 알려줍니다 따라서 이는 dx입니다 이렇게 적을 수도 있습니다 dx/dt, 이는 x'(t) · dt와 같습니다 그리고 y의 변화량은 같은 방법으로 구합니다 y의 변화량은 무한히 작은 y의 변화량은 t의 변화량이 무한히 작을 경우 이는 t에 대한 y의 변화율에 t의 변화량을 곱한 것으로 아주 작은 t의 변화량입니다 이는 y'(t)dt입니다 이에 따라서 여기에 있는 무한히 작은 호의 길이는 얼마인가요? 이는 피타고라스의 정의를 사용하면 됩니다 이는 여기 직각 삼각형의 빗변의 제곱근입니다 빗변의 제곱근입니다 따라서 이는 이 값의 제곱에 이 값의 제곱을 더한 것의 제곱근입니다 공간을 조금 더 만들겠습니다 공간을 조금 더 만들겠습니다 공간이 많이 필요하겠네요 따라서 이 파란색 제곱 dx 제곱 이를 x'(t)로 다시 적겠습니다 이 값 제곱을 더하는데 이는 y'(t)dt^2이죠 이제 이를 간단히 해봅시다 이는 여기 이 무한히 작은 호의 길이라는 것을 잊지 맙시다 dt^2으로 묶어내고 이는 이 두 항 모두에 들어있죠 따라서 이를 다시 적어봅시다 큰 제곱근을 적고 dt^2 · x'(t)^2에 dt^2 · x'(t)^2에 dt^2 · x'(t)^2에 y'(t)^2을 더합니다 이는 여기 이 값에 여기 모든 값을 곱한 것입니다 dt^2이 제곱근 안에 있다면 밖으로 뺄 수 있습니다 따라서 dt가 됩니다 따라서 이는 제곱근 아래에 남은 값 제곱근인 x'(t)^2 + y'(t)^2이고 x'(t)^2 + y'(t)^2이고 그리고 dt를 밖으로 뺍니다 그리고 dt를 밖으로 뺍니다 여기에 적을 수 있죠 하지만 다른 쪽에 적겠습니다 2를 곱합니다 따라서 다시 말하지만 무한히 작은 호의 길이의 식을 다시 적는 것입니다 운이 좋게도 미적분학에선 무한히 작은 값을 더하는 방법이 있고 그게 바로 정적분입니다 이를 더하고 싶다면 이 값에 이 값과 이 값을 더해야 합니다 그리고 이는 무한히 작은 변화량입니다 무한히 작은 값으로 표현하진 않았지만 이해를 돕기 위함입니다 하지만 모든 값을 더한다면 적분을 해야 합니다 그리고 t에 대하여 적분을 합니다 t = a에서 시작하여 t = b까지 합니다 이렇게 하면 호의 길이의 공식을 구한 것입니다 구한 것입니다 매개 방정식을 구할 경우 말이죠 다음 영상에서는 이를 적용하여 호의 길이를 구해 봅시다