예제: 매개변수 호 길이

x는 t의 함수이며 이는 cos(t)와 같고 y도 t의 함수이며 이는 sin(t)입니다 그리고 그래프 상의 아크의 길이를 구하고 싶습니다 따라서 t = 0부터 t = π/2의 아크의 길이입니다 영상을 멈추고 혼자서 풀어보세요 저번에 배웠던 공식을 이용해서요 따라서 공식을 보고 시각화를 하여 공식을 통해 얻은 답이 맞는지 확인하겠습니다 공식은 매개변수 공식의 아크의 길이를 나타내고 아크의 길이는 적분값 매개변수의 시작점 t = a부터 매개변수의 끝 t = b이며 제곱근 안의 x'(t)^2 더하기 y'(t)^2 dt입니다 이는 다음과 같이 다시 적을 수 있습니다 a부터 b 까지 적분값 제곱근 dx/dt^2 더하기 dy/dt^2dt입니다 이제 둘 다 공식을 사용할 수 있죠 dx/dt의 값이 무엇인가요? dx/dt는 cox'(t)이며 -sin(t)이고 -sin(t) 그리고 dy/dt의 값은 무엇인가요? dy/dt입니다 sin(t)의 도함수는 cos(t)입니다 따라서 여기까지 아크의 길이는 t = 0부터 π/2까지의 적분값입니다 매개변수는 0부터 π/2까지 t^2에 대한 x의 도함수의 제곱근이죠 이는 -sin(t)^2입니다 제곱을 하면 - 부호가 사라집니다 -sin 곱하기 -sin은 +sin^2이죠 따라서 이는 sin(t)^2입니다 그리고 (dy/dt)^2이죠 이는 cos(t)^2이죠 더하기 cos(t)^2입니다 그리고 dt가 있습니다 어떤 변수의 sin^2 + cos^2 값은 항상 1이 됩니다 이는 기본 삼각법의 성질이죠 사인과 코사인 단위원에서 나오는 성질입니다 따라서 1의 제곱근이 있고 1의 제곱근은 1입니다 따라서 다음 식을 0부터 π/2까지의 적분식으로 표현했습니다 이는 여기 이 값을 보면 1입니다 1을 t에 대하여 부정적분을 하면 t입니다 그리고 π/2에서의 값을 구합니다 π/2에서의 값을 구하고 0에서의 값을 뺍니다 따라서 이는 π/2 빼기 0입니다 이는 π/2죠 이게 왜 말이 되는지 한번 봅시다 곡선을 그려봅시다 이는 y축이고 이는 x축입니다 여기 말이죠 t = 0 일 경우 x(0)은 cos(0)이며 x = 1입니다 x = 1입니다 y는 sin(0)이며 이는 0이죠 y = 0입니다 따라서 여기 이 점 t = 0에 위치하며 t가 π/2까지 증가하면 단위원의 위쪽까지 올라가며 여기서 끝납니다 t = π/2인 부분이죠 이 경우 t를 라디안 각도로 볼 수 있습니다 따라서 아크의 길이는 1/4원의 아크 길이입니다 그리고 원의 원주는 2πr입니다 단위원에서 반지름의 길이는 1이고 원주의 길이는 2π입니다 이 값의 1/4는 π/2입니다 잘 구했습니다 기초 기하학에서 배웠던 내용이 미적분학에서도 적용이 되는군요