회전에 대해 정확하게 정의 내리기

아래는 한 교사와 학생간의 대화입니다. 대화 목표는 명확한 수학적 용어를 이용하여 회전에 대해 잘 설명하는 것입니다. 보다시피, 학생은 정의를 더욱 더 엄밀하게 만들기 위해 수정해야 합니다. 한 번 보시죠!

오늘 수업은 일반적인 방법으로 회전에 대해 설명하기입니다.

점 $P$‍에 대해서 $\theta$‍만큼 회전한다고 가정합니다. 다른 점 $A$‍에 대한 이 회전의 영향을 어떻게 설명할 것인가요?

무슨 말이죠? 아무것도 모르는데 $A$‍에 대해 어떻게 회전해야 하나요?

회전 각도가 얼마인지 모르는건 사실이지만, 모든 회전은 비슷한 방식으로 움직입니다. 회전이 $A$‍에 무슨 영향을 미쳤는지 설명할 방법이 있을까요?

흠... 잠시만요... 제 생각은 $A$‍가 $P$‍라는 다른 위치로 움직였을 것 같아요. 예를 들어, $A$‍가 $P$‍의 오른쪽에 있다면, 지금은 아마 $P$‍ 위에 있거나 할 것입니다. 이것은 $\theta$‍가 얼마나 크냐에 따라 달려있습니다.

좋아요. 학생이 말한 것을 나타내면 다음과 같습니다:

네, 이 정의에 동의합니다.

하지만, 수학에선 매우 엄밀해야 합니다. $\theta$‍와 동일한 $\mathrm{\angle }P$‍를 만드는 방법은 하나 밖에 없을까요?

글쎄요... 두 가지 방법이 있습니다: 시계방향, 반시계방향

맞아요! 회전은 반시계방향으로 진행되는데, 이를 정의에 반영해야 합니다:

물론, $\theta$‍가 음수로 주어진다면, 회전은 반대로, 즉 시계방향으로 진행됩니다.

멋지네요. 이제 끝난건가요?

학생이 이야기해 보세요. $A$‍가 어디로 움직이는지에 대한 정의는 정말 깔끔해야 합니다. 즉, $B$‍에 대한 묘사와 일치하는 점이 하나만 있어야 합니다.

반시계방향으로 움직여서 $\theta$‍와 동일한 각을 만들어내는 점이 오직 하나일까요?

아마도요... 아니! 아니에요! 이 각을 만들어내는 점은 아주 많습니다. $P$‍에서 $B$‍로 향하는 반직선 위의 임의의 점과 $A$‍ 사이의 각은 $\theta$‍입니다.

관찰력이 훌륭하군요! 그렇다면, 정의를 더 완성도 있게 만들 수 있겠어요?

네, 각이 $\theta$‍와 같아야 할 뿐만 아니라, $P$‍로부터의 거리도 같아야 합니다. 수학적으로 $PA=PB$‍라고 정의하면 될 것 같습니다.

잘했어요! 요약하여 다음 정의로 나타낼 수 있습니다:

와, 정말 깔끔하네요!

그럼요. 보너스로 회전을 정의하는 다른 방법을 소개해 드리겠습니다.

네, 원 위의 모든 점과 원의 중심 사이의 거리는 모두 동일하니까 이것도 맞습니다.

맞아요! 두 정의의 차이점은 첫 번째 정의는 선분을 사용하였고, 두 번째는 원을 사용했다는 점입니다.

그렇군요. 이제 끝났나요?

네. 할 수 있는 만큼 엄밀하게 회전을 정의한 것 같습니다.