대칭을 이용하여 사각형 찾기 (예제 2)

사각형을 구성하는 2개의 점을 살펴봅시다. 첫 번째 점의 위치는 (-4, -2) 입니다 한번 그려봅시다 두 점은 각각 (-4, -2), 그리고 (0, 5) 입니다. (0, 5) 인 점의 위치는 바로 여기입니다. 이 사각형은 y=x/2 선을 중심으로 대칭을 이루고 있습니다 자 그 선이 어떻게 생겼는지 그려볼까요? y=x/2 이것을 파란 선으로 그려 보겠습니다. y=x/2라는 관계를 따르기에, x가 0일때 y값도 0이 됩니다 이 식에서 y절편 값은 0입니다 그리고 기울기 값은 1/2 입니다. x의 값이 1이 증가할 때마다 y값은 1/2 씩 증가합니다 또한 x가 2씩 증가할 때에는, y는 1씩 증가합니다. 따라서, x가 2씩 증가할 때마다, y는 1씩 증가합니다. 또한, y는 항상 x의 반값이라고 생각할수도 있습니다 따라서, x가 4일때 y는 2이겠지요 x가 6이라면 y는 3이 됩니다 x가 8이라면 y는 4가 됩니다. 자 이 선들을 연결해 봅시다 이렇게 직선을 그리고, 계속 수업을 이어가 봅시다 x가 -2일때, y는 -1 입니다 x가 -4일때 y는 -2 입니다. 따라서, 이 선은 아까 그렸던 바로 그 점을 통과하고 1/2의 기울기를 갖고 계속 뻗어나가게 되지요 선을 조금 더 진하게 칠해보겠습니다 이 선은 바로 y=2/x 식을 그린 것 입니다 자 문제를 다시 보면 이 사각형은 또 다른 선과도 대칭을 이루고 있다고 합니다. 이 선은 y=-2x+5 입니다. 따라서, y절편 값은 5입니다 x가 0일때, y는 5입니다 따라서, 이 선은 사실 처음에 살펴보았던 이 사각형의 두 점 중 하나를 지나게 됩니다 또한, 기울기는 -2입니다 우리가 x를 1씩 증가시킬때마다 y는 2씩 줄어들게 됩니다 자 지금 그림을 그리고 있는 점들을 따라 기울기가 -2인 선을 만들어 봅시다 아마 지금 손가락이 움직이고 있는 모양의 선 형태가 될 것입니다. 자 이 점들을 연결해 봅시다 제가 최선을 다해 선을 그려보겠습니다 자 이 선이 y=-2x+5 입니다 자 이제 사각형을 그린다고 생각해 봅시다 우선, 사각형을 이 선을 중심으로 대칭시켜 보거나 아까 y축에 표시하였던 점을 y=2/x선에 대칭시켜 봅시다 이 선이 바로 y=2/x입니다 (-4, -2)를 가르키는 이 붉은색 점은 이미 선 위에 있습니다 따라서, 이 점의 대칭은 그 자신이 됩니다 거울에 비치는 것으로 생각하시면 됩니다 자 그럼 또 다른 한 선에 대해 생각해 봅시다 y=-2x+5 인 이 선을 또 다른 선과 직각으로 만들어 봅시다 사실, y=-2x+5인 이 선은 y=2/x인 저 선과 직각을 이루고 있습니다 어떻게 알 수 있을까요? 만약, 한 선의 기울기가 m 이라고 하고 또 다른 선이 이 선과 직각을 이룬다고 하면 그 값은 m의 역수의 마이너스 값입니다 따라서 그 값은 -1/m 입니다 첫 번째 선은 기울기가 1/2 이었고 1/2의 역수에 마이너스값을 살펴봅시다 1/2의 역수는 2이고 이 값을 마이너스로 만들면 -2가 됩니다 따라서, 두 기울기는 서로 부호가 반대이며 역수입니다 잠시 두 식에 체크한 선을 지우겠습니다 따라서 직각인 두 선을 따라 대칭시켜 보도록 하겠습니다 우리는 y를 2칸, x를 1칸씩 총 2번 내려가도록 하겠습니다 그 대칭점을 같은 색으로 칠해보겠습니다 y=x/2선을 중심으로 대칭으로 한 점은 바로 아래 이 점입니다 자 이렇게 우리는 사각형의 3점을 찾았습니다 4번째 점을 찾아봅시다 이미 우리가 그려 놓았던 붉은 점으로 가봅시다 이 점은 y=x/2 선 위에 올라가 있습니다 이 점을 y=-2x+5를 중심으로 대칭시켜 봅시다 다시 한번 말씀드리지만 두 선은 서로 직각을 이루고 있습니다 따라서, 이 직각인 선을 따라 대칭점을 찾아봅시다 오른쪽으로 2칸, 위쪽으로 1칸씩 이동합니다 하나, 둘, 세번 이동합니다 오른쪽으로 다시 한번 하나, 둘, 세칸 이동합니다 자 대칭은 바로 여기입니다 우리는 이 선을 따라 움직여야 합니다 현재 점 중 하나는 이 선의 왼쪽 아래에 있으며 우리는 이 선을 따라 같읕 길이만큼 오른쪽 위로 올라갑니다 여기에 사각형의 마지막 한 점이 있습니다 이제 우리는 사각형의 모든 점을 찾았습니다 이 네 점들을 연결해서 사각형을 그려보도록 하겠습니다 한 변은 바로 여기에 있고 이것은 또 다른 한 변이 됩니다 당신은 이 두 변이 서로 평행임을 알 수 있습니다 평행인 두 변은 서로 기울기가 같습니다 이 선의 두 점을 이용하여 기울기를 구해보겠습니다 오른쪽으로 4만큼 이동하고 위로 7만큼 이동합니다 따라서 기울기는 7/4 입니다 x가 1 이동할 때, y는 7/4만큼 이동합니다 반대편 선에서도 오른쪽으로 4칸만큼 이동하고 이 동안 위로 7칸 만큼 이동합니다 따라서, 이 선도 기울기는 7/4 입니다 이 두선은 따라서 서로 평행을 이루고 있습니다 자 우리는 위에도 선을 그릴 수 있습니다 천장의 이 선의 기울기를 살펴볼까요? x가 0의 값부터 8의값까지 움직임을 살펴봅시다 우리가 아래로 움직여보면 x가 8만큼 커질 때 y는 1씩 작아집니다 따라서, 이 기울기는 -1/8 입니다 아래 바로 이 선도 동일하게 -1/8의 기울기를 갖게 됩니다 이 두 선 또한 평행을 이루게 됩니다 위의 선은 아래의 선과 평행입니다 살짝 보면 이 사각형은 평행사변형입니다 하지만 조금 더 자세히 살펴보면 이 사각형은 마름모입니다 겉보기에는 평행사변형 같지만, 네 변의 길이가 모두 같습니다 평행사변형이 마름모이지 확인할 수 있는 방법이 몇 가지 있습니다 한 가지 방법은 각 변의 길이를 살펴보면 됩니다 우리는 각 변의 길이를 구하는 법을 알고 있습니다 이것은 피타고라스 이론에서 배웠던 것이지요 또 한가지 방법은 바로 마름모의 대각선을 살펴보는 것입니다 이 평행사변형의 대각선을 보고 마름모인지 확인해보겠습니다 만약, 두 대각선이 서로 직각이라면 이 평행사변형은 마름모입니다 우리는 이미 이 두 대각선을 살펴보았습니다 이 두 대각선은 서로 직각을 이루고 있습니다 이들은 서로 직각을 이루고 있습니다 따라서 이 도형은 마름모입니다