강체변환: 변하지 않는 성질

이번 시간에는 변환을 거친 후에 도형의 어떤 성질이 보존되고, 보존되지 않는지 알아보겠습니다 이번 시간에는 특히 회전과 반사에 대해 알아볼 것입니다 둘 다 강체변환입니다 즉, 대응하는 점 사이의 길이가 변하지 않습니다 예를 들어, 원 A가 있습니다 원의 중심은 점 A 입니다 그리고 점 P에 대해 회전시킵니다 점 P는 회전의 중심이 되겠죠 논의을 위해서 특정 각도만큼 시계방향으로 회전합니다 이렇게 회전했다고 합시다 이렇게 회전했다고 합시다 그리고 원의 중심이 여기에 위치한다고 합시다 따라서 회전 후의 새로운 원은 아마 이렇게 생겼을 것입니다 손으로 그려볼게요 삐뚤게 그려도 이해해 주세요 삐뚤게 그려도 이해해 주세요 아마 이런 식의 원이 되겠죠 확실하게 보존되는 것은 다음과 같습니다 아마 확실하지 않을 수도 있어요 확실해지길 바랍니다 이 회전과 같은 강체변환에 의해 보존되는 것은 여기 있습니다 이것은 명백한 회전이죠 보존되는 것은 원의 반지름이 있죠 원의 반지름이 있죠 원의 반지름의 길이까지 구해봅시다 반지름의 길이는 2입니다 이 반지름의 길이도 2입니다 이 반지름의 길이도 2입니다 둘레도 보존되겠죠 반지름이 보존된다면 원의 둘레 즉, 원주는 반지름의 함수로 나타낼 수 있습니다 2πr로 말이죠 r은 원의 반지름입니다 따라서 둘레 또한 보존됩니다 이것은 반지름의 길이가 보존된다는 사실로부터 도출됩니다 이것은 반지름의 길이가 보존된다는 사실로부터 도출됩니다 물론, 반지름이 보존되면 넓이 또한 보존됩니다 넓이는 πr²입니다 이들은 반지름이 같습니다 이들은 반지름이 같습니다 직감적으로 떠올릴 수 있죠 그러면, 무엇이 보존되지 않을까요? 그러면, 무엇이 보존되지 않을까요? 강체변환에 대한 일반적인 사실이 있습니다 그것은 바로 도형을 변환할 때 대응하는 점 사이의 거리가 보존되고 둘레와 넓이와 같은 값들이 보존됩니다 이런 경우, 둘레를 정할 수 있습니다 원주라고도 하죠 원주라고도 하죠 따라서 이들은 이렇게 보존됩니다 각도도 보존됩니다 이 그림으로는 각도가 몇 도인지 알 수 없지만 각도같은 것 또한 보존됩니다 그러나 좌표는 보존되지 않습니다 대응하는 점의 좌표 말이죠 대응하는 점의 좌표 말이죠 대응하는 점의 좌표 말이죠 항상은 아니지만 가끔 그럴 때가 있습니다 예를 들면, 원의 중심의 좌표는 확실하게 바뀝니다 기존의 좌표 (-3, 0)에서 (-1, 2)로 이동합니다 (-1, 2)로 이동합니다 따라서 좌표는 보존되지 않습니다 원의 중심의 좌표 원이 아닌 도형의 다른 예를 살펴봅시다 다른 종류의 변환을 할 것입니다 이 상황에서 반사를 해봅시다 사각형 ABCD가 있습니다 사각형 ABCD가 있습니다 직선 𝓁 에 대한 반사를 했을 때 무엇이 보존되고, 보존되지 않는지 알아보겠습니다 적어볼게요 이 상황에서 반사를 합니다 스스로 반사하지 않아도 이에 대해 생각해볼 수 있습니다 하지만 빠르게 반사해 봅시다 직선 𝓁 에 대하여 반사시킵니다 좌표를 반사시킨다는 것은 x와 y의 좌표를 바꾸는 것입니다 하지만 이 강의에선 이걸 알 필요가 없습니다 따라서 B'는 여기 있을 것이고 A'은 여기 있을 것입니다 D'은 여기 있을 거고요 D'은 여기 있을 거고요 그리고 C는 직선상에 있으므로 C'는 그대로입니다 따라서, 직선 𝓁 에 대해 반사시킨 새로운 사각형은 이렇습니다 새로운 사각형은 이렇습니다 이 강의에선 사실 알 필요가 없어요 꽤 빠르게 구했죠 반사하면 어떻게 되는지 실제로 보고 싶었을 뿐이에요 강체변환을 하면 어떻게 되는지 생각해보는 게 핵심입니다 반사하면 아마 이런 식으로 되겠죠 반사하면 아마 이런 식으로 되겠죠 반사하면 아마 이런 식으로 되겠죠 그러면 어떤게 보존되었나요? 일반적으로 어떤 강체변환에 의해서 무엇이 보존되었는지 알면 좋습니다 변의 길이는 강체변환이 무엇인지 정의하기 위해 사용한 방법 중 하나죠 대응하는 점 사의의 변의 길이를 보존하는 변환입니다 각도의 크기도 보존됩니다 각도의 크기도 보존됩니다 예를 들어 이 A의 각도는 A'의 각도와 같습니다 변 AB의 길이는 변 A'B'의 길이와 같습니다 변 A'B'의 길이와 같습니다 둘레도 있어요 변의 길이와 각도의 크기가 같다면 둘레와 넓이 또한 보존됩니다 둘레와 넓이 또한 보존됩니다 회전에 대한 예시를 들었을 때처럼 말이죠 이들은 강체변환을 하면 보존되는 것들입니다 그러면, 무엇이 보존되지 않나요? 보존되지 않는 것 방금 살펴본 예시로 돌아갑니다 방금 살펴본 예시로 돌아갑니다 좌표는 보존되지 않습니다 보다시피, A의 상인 A'은 A와 다른 좌표를 가집니다 B'도 B와 좌표가 다르고요 C'은 이 경우에 C와 좌표가 같습니다 C'은 이 경우에 C와 좌표가 같습니다 C는 반사시키는 직선상에 있기 때문이죠 C는 반사시키는 직선상에 있기 때문이죠 하지만, D'은 명백하게 D와 다른 좌표를 가집니다 하지만, D'은 명백하게 D와 다른 좌표를 가집니다 따라서, 보존되지 않는 것은 다음과 같습니다 A, B, D의 좌표 A, B, D의 좌표 A, B, D의 좌표 A, B, D의 좌표 A, B, D의 좌표 A, B, D의 좌표 A, B, D의 좌표 A, B, D의 좌표 변환된 후 그들의 상은 같은 좌표를 갖지 않습니다 변환된 후에 말이죠 변환된 후에 말이죠 보존되는 좌표는 C입니다 보존되는 좌표는 C입니다 보존되는 좌표는 C입니다 반사시키는 직선상에 존재하기 때문이죠 그리고 다른 성질들 또한 확인할 수 있습니다 직선에 대하여 어떤 부분이 변환되기 전과 변환된 후에 변환되기 전과 변환된 후에 어떤 차이가 있는지 말이죠 예를 들어, 변환하기 전의 변 CD는 예를 들어, 변환하기 전의 변 CD는 y축과 평행합니다 보다시피 말이죠 하지만 변환하면 변 C'D'가 되죠 따라서 이 변 C'D'는 더 이상 y축과 평행하지 않습니다 사실, 이제 x축과 평행하죠 그러므로, 변환되기 전의 어떤 것과 변환된 후의 어떤 것의 관계에 대해서 그런 관계는 변환되면 더 이상 참이 아니게 됩니다 그런 관계는 변환되면 더 이상 참이 아니게 됩니다 그런 관계는 변환되면 더 이상 참이 아니게 됩니다