초점과 준선으로 포물선의 방정식 구하기

이곳에 그리려 한 것은 노란색 으로 그린 포물선이고, 이전의 영상에서 보았듯이, 포물선은 한 점과 직선까지의 거리가 같은 점들의 집합이며, 그 한 점을 포물선의 초점이라고 합니다 그리고 직선은 포물선의 준선이 됩니다 이 영상에서 다룰 것은 조금 어려운 대수입니다 주어진 정의를 통해서 보고싶은 것은 보고싶은 것은 초점(a,b)와 준선 y=k를 통해 포물선의 방정식이 어떻게 나오는 지 알아보는 것입니다. a와 b, 그리고 k로 이 식을 표현할 것 입니다 해봅시다 포물선에서 임의의 한 점을 잡습니다 이 점이라고 해봅시다 점의 x좌표를 x라고 하고, y좌표를 y라 하면, 정의에 따라 이 점은 포물선이 되기 위해 준선과 초점 까지의 거리가 같아야 합니다 이게 어떤 의미입니까? 여기 파란색으로 그리고 있는 준선까지의 거리는 분홍색으로 그리는 초점까지의 거리와 같아야합니다 준선까지의 거리를 보면 (x,y) 에서 준선까지 수직으로 내린 거리입니다 이 준선까지 가장 짧은 선을 이렇게 수직으로 그려서 구할 수 있지만 초점까지의 거리는 각도가 있는 것으로 보이니 거리를 구하는 공식을 사용합시다 이 공식은 그냥 피타고라스 식의 응용입니다 해봅시다 준선까지의 거리는 초점까지의 거리와 같아야 합니다 준선까지의 거리는? (x,y)의 y값의 변화량 입니다 y값과 k 값의 차가 이 파란색 거리가 됩니다 이 파란색 거리가 됩니다 여기서 조심해야 할 것은 지금 그린 것과 같이 y의 값이 k의 값보다 크다면 y-k는 양의 값을 가지겠지만 거리에 대해 이야기 할 때는 양의 값을 이야기 해야 하므로 y 값이 준선 보다 낮은 경우의 포물선은 y 값이 준선 보다 낮은 경우의 포물선은 y-k의 값이 음수가 될 수도 있습니다 y-k의 값이 음수가 될 수도 있습니다 그래서 거리는 절대값을 씌워 줘야 합니다 또는, 값을 제곱한 후 근호를 씌우면 그 제곱근이 y-k의 절대값과 같습니다 그러면 이 거리는 포물선의 정의에 따라 (x,y)가 포물선의 한 점이기 때문에 (x,y)에서 (a,b), 즉 초점까지의 거리와 같아야 합니다 어떻게 될까요? 그냥 거리 공식을 적용하거나, 피타고라스 정리를 사용하면 됩니다 x의 변화에 따라 값이 달라지는데, (x-a)의 제곱 더하기 (y-b)의 제곱을 하고 이 전체에 근호를 씌워 주면 됩니다 이 전체에 근호를 씌워 주면 됩니다 여기 이 식이 바로 포물선의 방정식이 됩니다 포물선의 방정식이 아닌 것 같지만, 맞습니다 이 식이 포물선의 방정식이라는 것을 보여주기 위해 간단하게 만들어 보겠습니다 직접해보는 것을 추천합니다 조금 이상해 보일 수 있지만 그렇게 어렵지 않습니다 포물선의 방정식을 구해본다면 알아볼 수 있을 것입니다 초점 (a,b)와 준선인 y=k와 관련된 식으로 나타날 테니 한번 구해보겠습니다 가장 간단한 것 부터 시작하자면 양 변을 제곱한다면 근호를 없앨 수 있을 것입니다 왼쪽 변에는 (y-k)의 제곱이 있을 것이고, 오른쪽 변에는 (x-a)의 제곱 더하기 (y-b)의 제곱이 있을 것 입니다 더하기 (y-b)의 제곱이 있을 것 입니다 다음으로 할 것은 좌변에 y만을 남기고 나머지를 모두 우변으로 넘기는 것 입니다 첫번째로 할 것은 이 y와 관계가 있는 항 들을 전개하는 것 입니다 파란색으로 쓴 좌변은 파란색으로 쓴 좌변은 y의 제곱 빼기 2yk 더하기 k의 제곱이 됩니다 이와 같은 우변에는 아직 전개하지 않았습니다 즉, 그대로 (x-a)의 제곱 더하기 (y-b)의 제곱인데, 이제 전개하자면 이제 전개하자면 (y-b)의 제곱을 전개하자면 y의 제곱 빼기 2yb 더하기 b의 제곱이 됩니다 (y-b) 곱하기 (y-b)를 한 값입니다 이제 간단하게 만들어 보겠습니다 좌변에 y의 제곱이 있고, 우변에도 있기 때문에 양 변에서 y의 제곱을 없앨 수 있습니다 양 변에서 y의 제곱을 없앨 수 있습니다 이렇게 간단히 만들고 무엇을 할 수 있는지 보겠습니다 무엇을 할 수 있는지 보겠습니다 k의 제곱을 우변으로 넘기려면 양 변에 k의 제곱을 빼주면 됩니다 양 변에 k의 제곱을 빼주면 됩니다 그러면 좌변의 k제곱은 사라집니다 이제 양 변에 2yb를 더하겠습니다 좌변에는 y만 남게 만들어야 합니다 그래서 2yb를 더해주고, 그래서 2yb를 더해주고, 그래서 2yb를 더해주고, 이 방정식이 무엇과 같을까요? 그래프를 살펴 보겠습니다 나 자신에게 부동산을 조금 주도록 하겠습니다 그래서 좌변은 어떤 식이 나올지 봅시다 2yb 빼기 2yk는 어떤 것과 같냐면, 적어 보겠습니다 초록색으로 적어보면 이 식은, 그냥 다른 색으로 적도록 하겠습니다 그냥 다른 색으로 적도록 하겠습니다 2yb 빼기 2yk가 됩니다 2yb 빼기 2yk가 됩니다 여기서 2y를 앞에 빼서 묶어주면 2y(b-k)라는 식을 가지게 됩니다 그렇게 해보겠습니다 적어보자면 2y로 (2b-ky)를 묶어주면 2y로 (2b-ky)를 묶어주면 좌변이 됩니다 이 k의 제곱은 상쇄되었습니다 이 k의 제곱은 상쇄되었습니다 이제 우변을 보자면 조금 어려운 대수가 될 수 있다고 했습니다 전달하고자 하는 것을 이해해 주었으면 좋겠습니다 우변에는 (x-a)의 제곱이 있을 것 입니다 2yb 또한 사라지게 되었습니다 그러므로 남은 것은 b의 제곱 빼기 k의 제곱입니다 b의 제곱 빼기 k의 제곱 더하기 b의 제곱 빼기 k의 제곱이 됩니다 이제 할 일은 좌변에 y 만을 남겨 두는 것입니다 이제 양 변을 2(b-k)로 나눠 보겠습니다 이제 양 변을 2(b-k)로 나눠 보겠습니다 2 곱하기 (b-k) 2 곱하기 (b-k) 2 곱하기 (b-k)로 이렇게 모두 나누겠습니다 2 곱하기 (b-k) 이제 명백하게 좌변에는 모두 사라지고 y만 남게 됩니다 그래서 y는 그래서 y는 2(b-k)의 역수가 됩니다 b-k는 준선과 초점의 차이이라는 것을 알 수 있습니다 b-k는 준선과 초점의 차이이라는 것을 알 수 있습니다 이 주황색 선에서 이 점은 y좌표값이 k가 됩니다 그렇기 때문에 2 곱하기 (x-a)의 제곱을 곱해줘야 합니다 (b-k)가 무엇인지 알고 있다면 간단하게 숫자로 바꿔질 겁니다 그 숫자에 (x-a)의 제곱이 곱해진다면 이제 점점 포물선처럼 보이기 시작합니다 아마 어린 시절이 기억난다면, 만약 유년기의 포물선을 기억한다면 말입니다 자 이제 이 우변을 간단화 시킬 수 있는 지 보겠습니다 b의 제곱 빼기 k의 제곱을 본다면 제곱의 차이이기 때문에 (b+k)와 (b-k)의 곱과 같습니다 (b+k)와 (b-k)의 곱과 같습니다 (b-k)는 나눠져 없어지게 되고, 이제 남은 것은 조금 생각을 해보아야 하는데, 이제 남은 것은 1/2 곱하기 (b+k) 입니다 자 이제 초점(a,b)가 주어지고 준선 y=k가 주어졌으니 포물선의 방정식이 무엇인지 알아낼 수 있습니다 포물선의 방정식이 무엇인지 알아낼 수 있습니다 예를 들어보겠습니다 초점이 설정되어 있다면, (1,2)가 초점이라고 해봅시다 그리고 준선으로는 y가 어떤 값이라고 할까요 y가 어떤 값이라고 할까요 y가 -1이라는 준선이 있다면, 포물선의 방정식이 어떻게 될까요 k에 -1이 들어가므로 방정식이 2(b+1)의 역수로 시작합니다 b는 2 이므로 3이 되겠군요 b는 2 이므로 3이 되겠군요 2 빼기 -1은 3 입니다 이 값에 (x-1)의 제곱을 곱해주어야 하고, 이 값에 (x-1)의 제곱을 곱해주어야 하고, 1/2곱하기 (b+k)를 더해주어야 합니다 2 더하기 -1은 1이고 그래서 이 값이 1이라면 어떤 식이 나오게 될까요 y는 1/6 곱하기 (x-1)의 제곱 더하기 1/2과 같습니다 자 이 방정식이 (1,2)의 초점과 준선 y=-1을 가지는 포물선이 됩니다 환상적입니다