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주요 내용

직각삼각형의 변의 비를 각에 대한 함수로 나타내기

닮음에 의해 직각삼각형의 변의 비는 삼각형의 각의 성질입니다.
합동에 대해 공부할 때, 두 개의 각과 그 사이의 변의 길이가 같다면(ASA 합동) 다른 모든 조건(길이와 각의 크기)이 같다는 것을 알 수 있다고 배웠습니다.
왜 그럴까요? 피타고라스 정리를 사용하려고 해도, 한 변을 찾기 위해 두 변이 필요한 것을 알 수 있습니다. 이 수업에서는 특수한 직각삼각형 안에서 각의 크기와 변의 길이가 각각 서로에 대한 어떤 정보를 더 줄 수 있는지 알아보고 이해할 것입니다.
친구와 같이 해 보기 좋은 기회입니다. 이 수업의 목표는 규칙을 찾고 토론하고 계산하는데 몰두하는 것입니다. 문제를 친구와 분배하여 찾아낼 수 있는 것을 토론하는데 시간을 더 많이 써봅시다!

규칙 찾기

먼저, 삼각형에 대해 알아낼 수 있는 데이터를 모아봅시다.
4개의 삼각형은 어떤 관계가 있나요?
삼각형들은
조건에 의해
입니다.

측정표
여기 그 삼각형이 또 있습니다.
A와 관련된 측정표를 완성하세요.
ABCADEAFGAHI
대변의 길이691215
옆에 있는 변의 길이8
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
16
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
빗변의 길이1015
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
25
각 A37°37°37°37°
직각90°90°90°90°
마지막 각
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
°
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
°
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
°
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
°

이제 모은 데이터를 가지고 규칙을 찾아 봅시다.
비율 표
다음 비율 표를 완성하세요.
소수 셋째자리에서 반올림하여 나타내세요.
ABCADEAFGAHI
옆에 있는 변의 길이빗변의 길이
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
대변의 길이빗변의 길이
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
대변의 길이옆에 있는 변의 길이
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

어떤 것을 찾을 수 있나요?

다른 각의 크기에 대해서도 이 규칙이 성립한다는 것을 증명하기

증명
ACBC=FDED의 증명을 완성하세요.
주장이유
1AF모든 직각은 합동입니다.
2BE주어져 있습니다.
3ABC
닮음
4ACFD=BCED닮음인 삼각형의 대응되는 변들의 길이의 비는 같습니다.
5ACBC=FDED양변을
로 곱합니다.

증명의 결론
무엇을 증명했나요?
정답을 한 개 고르세요:
어떤 삼각형에 대해 증명했나요?
정답을 한 개 고르세요:

여기서 어떤 결론을 냈나요?

두 직각감각형의 예각의 크기가 같다면, 두 삼각형은 AA 닮음에 의해 닮음입니다. 삼각형 안에있는 대응되는 변의 길이의 비는 같습니다. 따라서 직각삼각형의 변의 길이의 비율은 하나의 예각에 따름니다.

이것이 왜 유용한가요?

이전에, 피타고라스 정리를 사용하여 직각삼각형에서 두 변이 주어져 있을 때, 빠진 나머지 변의 길이를 구할 수 있었습니다. 이제, 각의 크기와 직각삼각형의 변의 길이의 관계를 알고 있습니다. 이것은 하나의 각의 크기와 하나의 변의 길이를 알고 있을 때, 빠진 변의 길이를 찾을 수 있게 만들어 줍니다. 직각삼각형에서 두 변의 길이가 있다면, 예각의 크기를 찾을 수 있습니다.
확장 1.1
직각삼각형에서 예각의 크기가 주어져 있을 때, 삼각형의 변의 길이의 비율은 예각과 관계가 있습니다.
25°, 35°, 45°에 대한 대략적인 비율은 다음과 같습니다.
25°35°45°
인접변의 길이빗변의 길이0.910.820.71
대변의 길이빗변의 길이0.420.570.71
대변의 길이인접변의 길이0.470.71
표를 사용하여 아래의 삼각형에서 mJ의 근사값을 구해보세요.
정답을 한 개 고르세요: