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고등학교 기하학

코스: 고등학교 기하학 > 단원 5

단원 4: 직각삼각형의 비

직각삼각형의 변의 비를 각에 대한 함수로 나타내기

닮음에 의해 직각삼각형의 변의 비는 삼각형의 각의 성질입니다.

합동에 대해 공부할 때, 두 개의 각과 그 사이의 변의 길이가 같다면(ASA 합동) 다른 모든 조건(길이와 각의 크기)이 같다는 것을 알 수 있다고 배웠습니다.

왜 그럴까요? 피타고라스 정리를 사용하려고 해도, 한 변을 찾기 위해 두 변이 필요한 것을 알 수 있습니다. 이 수업에서는 특수한 직각삼각형 안에서 각의 크기와 변의 길이가 각각 서로에 대한 어떤 정보를 더 줄 수 있는지 알아보고 이해할 것입니다.

친구와 같이 해 보기 좋은 기회입니다. 이 수업의 목표는 규칙을 찾고 토론하고 계산하는데 몰두하는 것입니다. 문제를 친구와 분배하여 찾아낼 수 있는 것을 토론하는데 시간을 더 많이 써봅시다!

규칙 찾기

먼저, 삼각형에 대해 알아낼 수 있는 데이터를 모아봅시다.

4개의 삼각형은 어떤 관계가 있나요?

삼각형들은

조건에 의해

입니다.

측정표

여기 그 삼각형이 또 있습니다.

angle, A와 관련된 측정표를 완성하세요.

[어떤 변이 대변, 옆에 있는 변(인접변), 빗변인지 다시 한 번 확인해봅시다.]

	triangle, A, B, C	triangle, A, D, E	triangle, A, F, G	triangle, A, H, I
대변의 길이	6	9	12	15
옆에 있는 변의 길이	8	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	16	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
빗변의 길이	10	15	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	25
각 A	37, degree	37, degree	37, degree	37, degree
직각	90, degree	90, degree	90, degree	90, degree
마지막 각	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요. degree	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요. degree	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요. degree	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요. degree

[측정표를 보여주세요.]

이제 모은 데이터를 가지고 규칙을 찾아 봅시다.

비율 표

다음 비율 표를 완성하세요.
소수 셋째자리에서 반올림하여 나타내세요.

	triangle, A, B, C	triangle, A, D, E	triangle, A, F, G	triangle, A, H, I
start fraction, start text, 옆, 에, space, 있, 는, space, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 빗, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
start fraction, start text, 대, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 빗, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
start fraction, start text, 대, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 옆, 에, space, 있, 는, space, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.	정답은 정수(예: 6) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요. 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요. 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요. 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

[비율 표를 보여주세요.]

어떤 것을 찾을 수 있나요?

[친구와 함께 어떤 것을 관찰했는지 이야기 해보고 여기를 클릭하여 확인해 보세요.]

다른 각의 크기에 대해서도 이 규칙이 성립한다는 것을 증명하기

증명

start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction의 증명을 완성하세요.

	주장	이유
1	angle, A, \cong, angle, F	모든 직각은 합동입니다.
2	angle, B, \cong, angle, E	주어져 있습니다.
3	triangle, A, B, C, \sim, triangle	닮음
4	start fraction, A, C, divided by, F, D, end fraction, equals, start fraction, B, C, divided by, E, D, end fraction	닮음인 삼각형의 대응되는 변들의 길이의 비는 같습니다.
5	start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction	양변을 로 곱합니다.

증명의 결론

무엇을 증명했나요?

(A 선택)
두 삼각형에서 비율 start fraction, start text, 대, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 빗, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction는 같습니다.
(B 선택)
두 삼각형에서 비율 start fraction, start text, 대, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 인, 접, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction는 같습니다.

어떤 삼각형에 대해 증명했나요?

여기서 어떤 결론을 냈나요?

두 직각감각형의 예각의 크기가 같다면, 두 삼각형은 AA 닮음에 의해 닮음입니다. 삼각형 안에있는 대응되는 변의 길이의 비는 같습니다. 따라서 직각삼각형의 변의 길이의 비율은 하나의 예각에 따름니다.

이것이 왜 유용한가요?

이전에, 피타고라스 정리를 사용하여 직각삼각형에서 두 변이 주어져 있을 때, 빠진 나머지 변의 길이를 구할 수 있었습니다. 이제, 각의 크기와 직각삼각형의 변의 길이의 관계를 알고 있습니다. 이것은 하나의 각의 크기와 하나의 변의 길이를 알고 있을 때, 빠진 변의 길이를 찾을 수 있게 만들어 줍니다. 직각삼각형에서 두 변의 길이가 있다면, 예각의 크기를 찾을 수 있습니다.

확장 1.1

최근

직각삼각형에서 예각의 크기가 주어져 있을 때, 삼각형의 변의 길이의 비율은 예각과 관계가 있습니다.

25, degree, 35, degree, 45, degree에 대한 대략적인 비율은 다음과 같습니다.

각	25, degree	35, degree	45, degree
start fraction, start text, 인, 접, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 빗, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction	0, point, 91	0, point, 82	0, point, 71
start fraction, start text, 대, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 빗, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction	0, point, 42	0, point, 57	0, point, 71
start fraction, start text, 대, 변, 의, space, 길, 이, end text, divided by, start text, 인, 접, 변, 의, space, 길, 이, end text, end fraction	0, point, 47	0, point, 7	1

표를 사용하여 아래의 삼각형에서 m, angle, J의 근사값을 구해보세요.

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