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주요 내용

정육각형의 면적

삼각형에 대하여 아는 것을 활용하여 일반적인 정육각형의 넓이를 구합니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

도형A B C D E F는 정육각형입니다 그리고 이 정육각형은 정확히 여섯개의 면으로 이루어져 있습니다 이것을 그냥 육각형라 하면 안되구요 여기에서 '정'은 모든 변의 길이가 동일하다는 것을 알려줍니다 그리고 내각의 크기가 모두 같습니다 좋아요 이것은 정육각형이기에 만약 이 중 한 변의 길이가 주어진다면 모든 변의 길이를 알려준 것과 같습니다 여기가 2루트3이라 하면 바로 이 변의 길이가 2루트3입니다 이쪽 변의 길이도 2루트3입니다 육각형 주위를 돌아보겠습니다 이 모든 변의 길이는 2루트3입니다 이 육각형의 넓이를 구하고자 합니다 A B C D E F의 넓이를 구해봅시다 이 정육각형의 넓이를 구하는 가장 좋은 방법은 삼각형들로 나누는 것입니다 사실육각형은 조금 특별한 도형입니다 아마 이후 강의에서 좀 더 평범한 다격형을 배울겁니다 육각형으로 할 수 있는 것은 여기 가운데 점을 찍고 G라고 합니다 이 점이 육각형의 중점이라 하죠 육각형의 중점에 대해 얘기하자면 육강형의 모든 곳과 같은 거리에 있지 않습니다 육각형의 변이 같은 원에 있지 않기 때문이죠 하지만 각 꼭지점에선 같은 거리에 있습니다 따라서, GD와 GC 그리고 GB는 같고 마찬가지로 GA와 GF 그리고 GE도 모두 같습니다 방금 이야기한 선들을 그려보겠습니다 이것이 GE이구요 여기가 GD입니다 여기가 GC입니다 이 모든 선들의 길이는 같습니다 우리가 중심이라고 하는 점G가 있습니다. 육각형의 중심이지요 그리고 이 길이는 저 길이과 같음을 알죠 마찬가지로 이 길이와 같구요 저 길이와도 같습니다 이 길이와도 같고 이 길이와도 같습니다 뿐만 아니라 만약 원을 그리면 이렇게 원을 그리면 360도가 나옵니다 우리는 이 삼각형들이 모두 합동임을 알고 있습니다 그리고 그 것을 보여줄 수 있는 방법은 여러가지입니다 가장 쉬운 방법은 2개의 변을 보는 것입니다 삼각형 모두 이 변을 갖고 있고 이 변들은 모두 합동입니다 따라서 G는 가운데 있고 모든 변은 합동인 세 번째 변을 갖고 있습니다 2루트3의 길이이죠 그리고 각각의 모든변은 합동인 변입니다 자 우리는 모든 변의 길이가 같고 이 안쪽에 있는 바로 이 각도가 동일하다면 이 6개가 모두 동일합니다 여기 있는 6개의 삼각형이 모두 동일한거죠 자 그리고 우리가 이 것을 X라 부르면 이 각도가 X 이것도 X 이 각 모두를 더하면 360도가 됩니다 우리는 360도를 만드는 총 6개의 X를 발견했습니다 따라서 여섯 X의 합은 360도 입니다 양쪽을 6으로 나누어 보면 X는 60도와 같습니다. X는 60도 입니다 이들은 모두 60도 입니다 여기에서 재미있는 것은 우리는 이 삼각형들이 예를들어 삼각형 GBC를 예를 들면 6개의 삼각형 중 어떤 삼각형에서도 할 수 있습니다 정확히 이등변삼각형임을 알고 있습니다 이 길이와 저 길이는 같죠 우리는 이 정보를 바탕으로 나머지 각도를 계산할 것이니다 왜냐하면 이 2개의 각도는 이등변삼각형에서 동일하기에 같은 각도를 띄고 있습니다 이 각도는 저 각도와 동일한데요 이것을 Y라 하고 따라서 2Y에 60을 더한 2Y+60은 180도가 됩니다 모든 삼각형의 내각을 더하면 180도이기 때문이죠 따라서 양쪽 항에서 60을 빼면 2Y는 120이 됩니다 양변을 다시 2로 나누면, Y는 60과 같습니다 여기가 재미있는 것인데요 모든 삼각형에서 동일하게 확인할 수 있지만 이 삼각형들의 각도는 모두 60-60-60입니다 이전 수업에서 배웠던 것이지요 정삼각형을 처음 공부하면서 모든 삼각형의 각도가 60도임을 배웠습니다 그러니 지금 정삼각형을 다루고 있습니다 이것은 모든 변의 길이가 같다는 것을 의미하죠 따라서 이 변의 길이는 2루트3이고 이변의 길이 또한 2루트 3입니다 이 변도 마찬가지로 2루트 3입니다 여기 있는 초록색 선이 모두 2루트 3이 되지요 이 도형이 정육각형이기 때문에 모든 변의 길이가 2루트 3임을 알 수 있습니다 이제 이 정보를 이용할 수 있습니다 이 정보를 활용하여 이번 단원에서 배우려 했던 것이죠 바로 알려드리겠습니다 각 삼각형들의 넓이를 알고 여기에 6을 곱하면 전체 넓이를 구할 수 있습니다 자 여기 이 삼각형에 집중해 봅시다 어떻게 이 넓이를 구할 수 있을까 생각해보죠 DC의 길이가 2루트3임을 알고 있습니다 높이를 그릴 겁니다 높이를 이렇게 그리구요 자 높이를 그렸다면 이 삼각형이 정삼각형임을 이미 알고 있습니다 매우 쉽게 이 삼각형들이 대칭을 이루는 것을 알 수 있습니다 모두 90도의 각도를 갖고 있습니다 여기 두 곳은 60도임을 이미 알고 있죠 그리고 각각의 삼각형을 보면 내각들을 모두 더하면 180도임을 알 수 있습니다 따라서 여기는 30도의 각도를 갖게 됩니다 모든 각도는 같습니다 이들은 또한 한 변을 모두 공유합니다 따라서 이둘은 같은 삼각형입니다 이 넒은 도형의 넓이를 이 작은 부분을 활용하여 구하려면 이 부분의 넓이를 구하고 거기에 2를 곱해주면 됩니다 그리고 전체 육각형의 넓이는 그 작은 크기에 12를 곱하면 나오겠죠 이 작은 부분의 넓이를 어떻게 구할 수 있을까요? 이 부분은 삼각형 하단길이의 절반이고 이 길이를 구해보면.. 이 점을 H라 하겠습니다 DH의 길이는 루트3입니다 30-60-90도의 각도의 삼각형인 것을 알죠? 여기에 그리겠습니다 이것은 30-60-90도 각도를 띈 삼각형입니다 이 곳의 길이가 루트3임을 알고 있습니다 이미 이 값을 계산을 했죠 이 곳의 길이는 2루트3이고 꼭 알아야 하는 것은 높이입니다 30-60-90도의 삼각형에서 60도 반대쪽에 있는 변의 길이는 30도 반대쪽 변의 길이의 루트 3배입니다 따라서 이 곳의 길이가 루트3의 제곱이됩니다. 루트3을 곱하죠 루트3에 루트3을 곱하면 이것은 3이 됩니다 따라서 높이는 3이 됩니다 이 삼각형의 넓이를 알고 싶다면 바로 이 삼각형이죠 아랫변 절반에 높이를 곱하면 됩니다 이 작은 부분의 넓이는 아래쪽의 반입니다 이 아래쪽의 반이죠 잠시 앞으로 돌아가겠습니다 이것에 대해 신경쓰지 말고 바로 큰 삼각형인 GDC로 가겠습니다 잠시 과거로 돌아가보겠습니다 및변과 높이를 모두 알게 되었습니다 삼각형 GDC의 넓이를 구할 때 신경쓸 것은 제가 보고있는 이 삼각형 전체에서 1/2과 밑변과 높이를 곱해줍니다 이것은 다음과 같습니다 우리의 아랫면이 무엇이었죠? 우리는 이미 알고 있지만 우리의 아랫면은 육각형의 한 면입니다 이것은 2루트3입니다 여기 이곳 전체는 여기에 2루트3을 곱하고 높이를 곱합니다 30-60-90 삼각형에서 구했던거죠 높이는 3입니다 따라서 3을 곱하고 2와 1/2은 1이되어 사라집니다 이제 식은 3과 루트3이 남았습니다 이 값은 이 작은 삼각형 부분의 넓이이구요 육각형 전체의 넓이를 알고싶으면 여기에 6을 곱하면 됩니다 총 6개의 동일한 삼각형이 있기 때문이죠 따라서 이 값은 6에 3루트3을 곱한 값과 같게 됩니다 답은 18루트3입니다