특수한 직각삼각형 증명 (2부)

지난 강의에서는 세 각의 크기가 30도, 60도, 90도인 삼각형의 변의 비를 구해 보았습니다 길이가 가장 긴 변인 빗변을 x라고 한다면 30˚를 마주 보는 짧은 변의 길이는 x/2이고 60˚를 마주 보는 변의 길이는 √3x/2였습니다 다른 방법으로 생각해 볼까요? 가장 짧은 변을 1이라고 해 봅시다 세 변의 비를 적어 볼게요 30˚를 마주 보는 변을 1이라고 했을 때 60˚를 마주 보는 변은 √3이 되고 빗변의 길이는 두 배가 되겠죠 지난 강의에서 빗변을 x라고 했을 때 30˚를 마주 보는 변이 x/2라고 했죠? 하지만 여기서는 30˚를 마주 보는 변을 1이라고 했으므로 빗변은 2가 됩니다 여기는 30˚의 대변이고 여기는 60˚의 대변이며 여기는 90˚의 대변의 비입니다 일반적으로 삼각형의 변의 비가 1 : 2 : √3이라면 그 삼각형은 세 각의 크기가 30도,60도, 90도인 삼각형입니다 30-60-90삼각형이 있을 때 세 변의 길이의 비를 토대로 변의 길이도 알 수 있습니다 예를 들어 변의 길이가 각각 2, 2√3, 4인 삼각형이 있습니다 2 : 2√3의 비는 1 : √3의 비와 같고 2 : 4의 비는 1 : 2의 비와 같으므로 이 삼각형은세 각의 크기가 30도,60도, 90도인 삼각형입니다 이번에 다룰 내용은 기하학과 삼각법에 많이 나오는 세 각의 크기가 45도,45도,90도인 삼각형입니다 직각이등변삼각형을 그려보겠습니다 직각삼각형이면서 정삼각형인 도형은 그릴 수 없습니다 정삼각형은 세 각이 모두 60˚이기 때문이죠 하지만 두 변이 같은 직각삼각형은 그릴 수 있습니다 이 도형은 직각이등변삼각형입니다 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같고 두 밑각의 크기도 같습니다 밑각의 크기를 x라고 가정하면 x + x + 90 = 180이죠 양변에서 90을 빼면 x + x = 90이 됩니다 간단히 하면 2x = 90이죠 양변을 2로 나누면 x = 45가 됩니다 따라서 직각이등변삼각형은 세 각의 크기가 45도, 45도, 90도인 삼각형이라고도 합니다 이제 이 삼각형의 변의 비를 구해 봅시다 세 각의 크기가 30도, 60도, 90 도인 삼각형의 변의 비를 구했을 때와 같아요 이건 좀 더 간단해요 세 각이 45도, 45도, 90도인 삼각형의 한 변을 x라고 두면 다른 한 변의 길이도 x가 됩니다 그러면 피타고라스의 정리를 이용해서 빗변의 길이를 구할 수 있죠 빗변의 길이를 c라고 할게요 길이가 같은 양변을 제곱해서 더하면 x² + x²이죠 따라서 x² + x² = c²입니다 피타고라스 정리를 이용해서 쉽게 나타낼 수 있어요 식을 간단히 하면 2x² = c²입니다 식의 양변에 근호를 씌워 봅시다 c²을 노란색으로 다시 써 볼게요 이렇게 양변에 근호를 씌워주면 식의 좌변에서 2의 제곱근은 √2이고 x²의 제곱근은 x입니다 따라서 x * √2 = C 입니다 직각이등변삼각형은 이등변삼각형이므로 빗변을 제외한 두 변의 길이가 같습니다 빗변의 길이는 그 길이의 √2배가 될 것입니다 따라서 c = x√2 입니다 예를 들면 이렇게 생긴 삼각형이 있다고 합시다 좀 다르게 그려 볼게요 세 각이 각각 90˚, 45˚, 45˚인 삼각형이 있어요 이 중에서 2개의 각만 알아도 다른 각의 크기를 구할 수 있습니다 이 삼각형의 밑변의 길이가 3이라면 이 삼각형은 이등변삼각형이므로 이 변의 길이도 3이 됩니다 이 원리를 이해한다면 피타고라스 정리를 적용하지 않아도 됩니다 90˚를 마주 보는 변인 빗변의 길이는 빗변이 아닌 변의 길이의 √2배가 될 것입니다 따라서 빗변의 길이는 3√2입니다 45도,45도,90도인 삼각형 또는 직각이등변삼각형에서 변 길이의 비는 빗변이 아닌 한 변의 길이의 비가 1이면 다른 한 변의 길이에 대한 비가 같고 빗변의 길이는 그 길이의 √2배가 되어야 합니다 따라서 1 : 1 : √2입니다 이것이 세 각의 크기가 45도, 45도, 90도인 삼각형의 변의 비입니다 그리고 세 각의 크기가 30도, 60도, 90도인 삼각형의 변의 비는 1 : √3 : 2였죠 다음 시간에는 이 비를 문제에 적용시켜 봅시다