특수한 직각삼각형 증명 (1부)

이번 강의에서는 세 각의 크기가 30도, 60도, 90인 삼각형에 대해 알아보겠습니다 미국에서는 30-60-90 삼각형이라고 말합니다 세 각의 크기가 30도, 60도, 90도이기 때문입니다 이번 수업에서는 세 각의 크기가 30도, 60도, 90도인 삼각형의 변의 길이의 비에 대해 증명해 볼 거예요 이것은 기하학과 삼각법에서 유용하게 쓰입니다 빗변의 길이를 x라고 합시다 빗변은 90도 각과 마주 보는 변이에요 빗변의 길이가 x일 때 30도 각을 마주 보는 짧은 변의 길이가 x/2이고 60도 각을 마주 보는 변의 길이가 √3과 짧은 변의 길이를 곱한 √3x/2라는 것을 증명해 봅시다 그리고 이 증명을 다른 동영상에서도 적용해 볼 거예요 먼저 익숙한 삼각형으로 시작해 볼까요? 정삼각형을 그려보겠습니다 삼각형을 그리는 것이 제일 어려운 것 같아요 이 점을 각각 A, B C라고 부르겠습니다 삼각형 ABC가 정삼각형이라고 한다면 삼각형 ABC의 세 변의 길이는 모두 같습니다 이 때 한 변의 길이를 x라고 해 볼게요 그러면 이 변도 x가 되고 이 변도 x가 되고 이 변도 x가 됩니다 또한 정삼각형은 세 각의 크기가 모두 60도입니다 그러므로 이 각의 크기는 60도이고 이 각과 이 각의 크기도 60도입니다 이제 삼각형의 꼭대기에서부터 높이를 그려 볼 거예요 삼각형의 높이는 밑변과 수직으로 만납니다 그러므로 이 각은 직각이고 이 각도 직각이겠네요 이 변이 정삼각형의 높이이며 밑변을 수직 이등분한다는 것은 간단하게 증명할 수 있습니다 동영상을 멈추고 직접 한번 해 보세요 이 두 가지 사실에서 두 삼각형이 합동이라는 것을 알 수 있습니다 한번 증명해 볼게요 이 점을 D라고 합시다 삼각형 ABD와 BDC는 이 변을 공유하므로 이 변은 공통되는 변입니다 여기 있는 이 각은 이 각과 합동이고 여기 있는 이 각은 이 각과 합동입니다 이 두 쌍의 각이 합동이라면 나머지 한 각도 합동이어야 합니다 그러므로 여기 이 각은 이 각과 합동이죠 이 두 각은 합동이에요 삼각형의 합동조건은 여러 가지입니다 두 변의 길이와 끼인각의 크기가 같은 SAS합동이나 한 변의 길이가 같고 그 양 끝각의 크기가 같은 ASA합동 중 어떤 조건을 이용하든 삼각형 ABD와 삼각형 CBD가 합동이라는 것을 증명할 수 있습니다 ASA합동조건이나 SAS합동조건 중 어떤 조건을 사용하든지 이 증명을 통해 알 수 있는 것은 대응하는 변의 길이가 같다는 것입니다 특히 변 AD와 변 CD는 서로 대응하는 변이므로 길이가 같을 것입니다 이 삼각형의 한 변의 길이가 x였죠 더해서 x가 되는 두 변의 길이가 같으므로 이 변의 길이는 x/2가 됩니다 또한 높이를 그렸을 때 이 두 각은 합동이며 합하면 60도가 된다는 것을 알 수 있었죠 크기가 같은 두 각을 합하면 60도가 되므로 이 각의 크기는 30도이고 이 각의 크기도 30도입니다 지금까지 세 각의 크기가 30도,60도, 90도인 삼각형의 성질 하나를 증명했습니다 정삼각형에 높이를 그려서 이 정삼각형을 30도,60도,90도인삼각형 두 개로 나누었더니 90도 각을 마주 보는 변의 길이가 x일 때 30도 각을 마주 보는 변의 길이가 x/2라는 것이 증명되었습니다 이제 60도 각을 마주 보고 있는 세 번째 변을 살펴봅시다 60도 각을 마주 보는 변은 이 변이겠죠 이 변은 BD입니다 이제 피타고라스 정리를 이용해 봅시다 변 BD와 변 CD를 각각 제곱하여 더한 값 즉 (BD)² + (x/2)²은 빗변의 제곱과 같습니다 이것은 피타고라스 정리를 그대로 이용한 거예요 (BD)²+(x/2)²은 빗변의 제곱과 같으므로 (BD)²+(x/2)² = x²입니다 정리하자면 삼각형 BCD에 피타고라스 정리를 적용시켰으며 변 BD와 변 CD를 각각 제곱하여 더한 값은 빗변을 제곱한 값과 같습니다 이제 변 BD의 길이를 알아봅시다 BD² + x²/4 = x² 우변을 4x²/4로 볼 수도 있어요 그래도 x²과 같습니다 양변에서 1/4 x² 또는 x²/4을 빼면 BD² = 4x²/4 - x²/4이고 계산하면 BD² = 3x²/4입니다 양변에 근호를 씌우면 BD = √3x/2이 됩니다 3의 제곱근은 √3이고 x²의 제곱근은 x이며 4의 제곱근은 2이기 때문이죠 BD는 60도 각을 마주 보는 변입니다 다 풀었어요 빗변의 길이가 x라면 30도 각을 마주 보는 변의 길이는 x/2이고 60도 각을 마주 보는 변의 길이는 (√3/2)x 또는 √3x/2 입니다 둘 다 맞는 답이에요