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코스: 고등학교 기하학 > 단원 5

단원 7: 삼각비를 이용하여 직각삼각형의 한 각의 크기 구하기

역삼각함수란?

역사인, 역코사인, 역탄젠트에 대하여 배우고, 직각삼각형에서 모르는 각을 구하는데 어떻게 쓰이는지 배워 봅시다.

삼각법 문제의 새로운 유형에 대하여 살펴봅시다. 흥미롭게도, 이 문제들은 사인, 코사인, 탄젠트로 풀리지 않습니다.

문제: 아래 삼각형에서, 각

L

의 크기는 얼마일까요?

우리가 알고 있는 사실:

∠ L

에 대하여, 대변(높이)과 밑변의 길이를 알고 있습니다. 따라서:

\tan (L) = \frac{대변(높이)}{밑변} = \frac{35}{65}

하지만 이는

∠ L

의 크기를 구하는데 도움이 되지 않습니다. 어떻게 하죠?

필요한 것: 이러한 문제를 풀기 위한 새로운 수학적 도구가 필요합니다. 사인, 코사인, 탄젠트로는 풀지 못합니다. 각들에 대한 변의 비율을 알 수 있지만, 변의 비율에 대한 각의 크기를 구하는 함수가 필요합니다. 역삼각함수가 필요한 것이죠!

역삼각함수

역연산에 대해 이미 알고 있습니다. 예를 들어, 덧셈과 뺄셈은 서로 역연산이고, 곱셈과 나눗셈도 서로 역연산입니다. 각 연산은 역의 반대입니다.

이 개념은 삼각함수에도 동일하게 적용됩니다. 역삼각함수는 "일반적인" 삼각함수의 반대 기능을 합니다. 예를 들어:

사인의 역함수 $(\sin^{- 1})$ ‍는 사인의 반대입니다.
코사인의 역함수 $(\cos^{- 1})$ ‍는 코사인의 반대입니다.
탄젠트의 역함수 $(\tan^{- 1})$ ‍는 탄젠트의 반대입니다.

일반적으로, 삼각비를 알지만 각을 모른다면, 대응하는 역삼각함수를 이용하여 각을 구할 수 있습니다. 아래에 수학적으로 나와 있습니다.

각을 입력하여 변 길이의 비율이 나오는 삼각함수		변 길이의 비율을 입력하여 각이 나오는 역삼각함수
$\sin (θ) = \frac{대변(높이)}{빗변}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{대변(높이)}{빗변}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{밑변}{빗변}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{밑변}{빗변}) = θ$ ‍
$\tan (θ) = \frac{대변(높이)}{밑변}$ ‍	$\to$ ‍	$\tan^{- 1} (\frac{대변(높이)}{밑변}) = θ$ ‍

헷갈리지 마세요!

\sin^{- 1} (x)

는

\frac{1}{\sin (x)}

와 같지 않습니다. 즉,

- 1

은 지수가 아닙니다. 이것은 역함수를 의미합니다.

한 숫자 또는 변수에 지수

- 1

이 있다면, 이는 곱셈의 역연산, 혹은 역수를 말합니다. 예를 들어,

3^{- 1} = \frac{1}{3}

입니다. 보통,

a

가 0이 아닌 수라면,

a^{- 1} = \frac{1}{a}

입니다.

그러나,

\sin^{- 1} (x)

는 이 경우에 해당하지 않습니다. 사인은 함수이지, 값이 아니기 때문입니다.

일반적으로, 함수의 지수가

- 1

가 있으면, 역함수입니다. 따라서 예를 들어,

f

가 함수라면,

f^{- 1}

는

f

의 역함수입니다.

f^{- 1} (x)

는

x

에 대한 역함수의 값을 나타냅니다.

함수	그래프
$\sin (x)$ ‍
$\sin^{- 1} (x)$ ‍ (또는 $\arcsin (x)$ ‍)
$\frac{1}{\sin x}$ ‍ (또는 $\csc (x)$ ‍)

하지만, 이 함정을 피하는 다른 표기법이 있습니다. 사인의 역함수는

\arcsin

로, 코사인의 역함수는

\arccos

로, 탄젠트의 역함수는

\arctan

로 나타낼 수 있습니다. 이 표기법은 컴퓨터 프로그래밍 언어에서 흔히 쓰이지만, 수학에선 그렇지 않습니다.

기초 문제 풀어보기

기초 문제에서, 대변(높이)과 밑변의 길이가 주어졌으므로, 탄젠트의 역함수를 이용하여 각을 구할 수 있습니다.

\begin{aligned} m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{대변}{인접변}) & 정의. \\ m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) & 값 대입. \\ m ∠ L & \approx {28.30}^{\circ} & 계산기를 사용하여 구하기. \end{aligned}

연습문제 풀어보기

연습문제 1

주어진 $△ K I P$ ‍에서, $∠ I$ ‍를 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

^{\circ}

연습문제 2

주어진 $△ D E F$ ‍에서, $∠ E$ ‍를 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

^{\circ}

연습문제 3

주어진 $△ L Y N$ ‍에서, $∠ Y$ ‍를 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

^{\circ}

심화문제

삼각형에 대하여 완전히 풀어보세요. 즉, 모르는 변의 길이와 모르는 각을 모두 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

O E =

∠ O =

^{\circ}

∠ Z =

^{\circ}

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Jisu Yeom
7년 전 에 포스트 됨. Jisu Yeom' 의 포스트“I don't know how to use c...”로 바로가기
I don't know how to use calculate when I make inverse
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- 신규 박
  3년 전 에 포스트 됨. 신규 박' 의 포스트“we must depend on a calcu...”로 바로가기
  we must depend on a calculating machine...
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