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고등학교 기하학

단원 7: 삼각비를 이용하여 직각삼각형의 한 각의 크기 구하기

역삼각함수란?

역사인, 역코사인, 역탄젠트에 대하여 배우고, 직각삼각형에서 모르는 각을 구하는데 어떻게 쓰이는지 배워 봅시다.

삼각법 문제의 새로운 유형에 대하여 살펴봅시다. 흥미롭게도, 이 문제들은 사인, 코사인, 탄젠트로 풀리지 않습니다.

문제: 아래 삼각형에서, 각

L

의 크기는 얼마일까요?

우리가 알고 있는 사실:

∠ L

에 대하여, 대변(높이)과 밑변의 길이를 알고 있습니다. 따라서:

\tan (L) = \frac{대변(높이)}{밑변} = \frac{35}{65}

하지만 이는

∠ L

의 크기를 구하는데 도움이 되지 않습니다. 어떻게 하죠?

필요한 것: 이러한 문제를 풀기 위한 새로운 수학적 도구가 필요합니다. 사인, 코사인, 탄젠트로는 풀지 못합니다. 각들에 대한 변의 비율을 알 수 있지만, 변의 비율에 대한 각의 크기를 구하는 함수가 필요합니다. 역삼각함수가 필요한 것이죠!

역연산에 대해 이미 알고 있습니다. 예를 들어, 덧셈과 뺄셈은 서로 역연산이고, 곱셈과 나눗셈도 서로 역연산입니다. 각 연산은 역의 반대입니다.

이 개념은 삼각함수에도 동일하게 적용됩니다. 역삼각함수는 "일반적인" 삼각함수의 반대 기능을 합니다. 예를 들어:

일반적으로, 삼각비를 알지만 각을 모른다면, 대응하는 역삼각함수를 이용하여 각을 구할 수 있습니다. 아래에 수학적으로 나와 있습니다.

\sin^{- 1} (x)

는

\frac{1}{\sin (x)}

와 같지 않습니다. 즉,

- 1

은 지수가 아닙니다. 이것은 역함수를 의미합니다.

하지만, 이 함정을 피하는 다른 표기법이 있습니다. 사인의 역함수는

\arcsin

로, 코사인의 역함수는

\arccos

로, 탄젠트의 역함수는

\arctan

로 나타낼 수 있습니다. 이 표기법은 컴퓨터 프로그래밍 언어에서 흔히 쓰이지만, 수학에선 그렇지 않습니다.

기초 문제에서, 대변(높이)과 밑변의 길이가 주어졌으므로, 탄젠트의 역함수를 이용하여 각을 구할 수 있습니다.

\begin{aligned} m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{대변}{인접변}) & 정의. \\ m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) & 값 대입. \\ m ∠ L & \approx {28.30}^{\circ} & 계산기를 사용하여 구하기. \end{aligned}

연습문제 1

주어진 $△ K I P$ ‍에서, $∠ I$ ‍를 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

^{\circ}

연습문제 2

주어진 $△ D E F$ ‍에서, $∠ E$ ‍를 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

^{\circ}

연습문제 3

주어진 $△ L Y N$ ‍에서, $∠ Y$ ‍를 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

^{\circ}

심화문제

삼각형에 대하여 완전히 풀어보세요. 즉, 모르는 변의 길이와 모르는 각을 모두 구하세요.
소수 셋째 자리에서 반올림하세요.

O E =

∠ O =

^{\circ}

∠ Z =

^{\circ}

정렬 기준: