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단원 2: 피타고라스 정리 증명 (중등3학년)가필드의 피타고라스 정리 증명
제임스 가필드의 피타고라스 정리의 증명에 대해 알아봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님
동영상 대본
피타고라스의 정리를 증명하는
방법을 배워 봅시다 피타고라스의 정리를
증명하는 방법은 1876년에 제임스 가필드라는 사람이
처음으로 발견했다고 알려져 있죠 그는 전문적인 수학자가
아니었습니다 이 사람은 미국의
제 20대 대통령입니다 1880년에 대통령으로 선출되었고
1881년에 대통령이 되었습니다 이 정리에 대한 증명을
하원의원 시절에 해냈습니다 에이브라함 링컨만이
기하학을 연구했던 유일한 대통령이자
정치가가 아니었습니다 가필드 덕분에 우리는 직각삼각형을
만들 수 있게 되었습니다 직각삼각형을
그려 볼게요 여기 있는 이 변의
길이를 b라고 하고 이 변의 길이는
a라고 합시다 그리고 이 직각삼각형에서
가장 긴 변은 c라고 해보죠 여기에 직각을 표시해서 직각삼각형이라는
것을 나타내 볼게요 이 삼각형을
뒤집고 돌려서 이 삼각형과 합동이 되는
다른 삼각형을 만들 수 있어요 한번 해 봅시다 a와 동일 선상에 놓이도록
변 b를 그려 볼게요 겹치지 않게 그립니다 여기는 b가 됩니다 조금 더 길게
그려 볼게요 그리고 변 a를 그릴게요 직각도 그려 줍니다 그리고 변 c도
그려 줍니다 먼저 이 두 변 사이의
각의 크기를 생각해 봅시다 이 각의 크기는
얼마일까요? 증명할 수 있는지
살펴봅시다 처음 삼각형에서
이 각을 θ라고 해 봅시다 그렇다면 변 a와 c 사이에 있는
이 각의 크기는 얼마일까요? θ에 이 각을 더하면
90도가 되겠죠? 삼각형의 내각의 합은
180도가 되어야 하는데 다른 한 각이
직각이므로 θ와 이 각의 합이
90도가 되어야 합니다 이 두 각의 합이
90도이므로 이 각의 크기는
(90 - θ)도가 되겠네요 위에 그려준 삼각형은
아래 삼각형과 합동입니다 그러므로 이 각과 대응하는
이 각의 크기도 θ입니다 그리고 이 각은
(90 - θ)도가 되겠죠 이 각은 θ이고
이 각은 90 - θ입니다 구하려는 각의
크기는 얼마일까요? 이 세 각을 모두
더하면 180도가 되죠? 그러므로 θ와 (90 - θ)와 구하려는 각의 크기를
합하면 180도가 됩니다 여기서 θ는
소거되겠죠 그러면 식은
90 + 구하려는 각 = 180도가 됩니다 양변에서 90을 빼주면 구하려는 각의 크기가
90도라는 것을 알 수 있어요 답을 구했습니다 구한 각을 그림에
표시해 볼게요 따라서 이 각은 90도
즉, 직각입니다 이제 사다리꼴을
한번 만들어 보겠습니다 변 a와
아래의 변 b는 평행하죠 그리고 여기도
쭉 이어진 한 변이 됩니다 이제 여기 있는
두 변을 연결해 봅시다 이렇게 만들어진
사다리꼴의 넓이를 생각하는 방법은
여러 가지입니다 첫 번째 방법은
이 사다리꼴의 넓이를 전체 넓이로
생각하는 것이고 두 번째 방법은
사다리꼴의 넓이를 각 도형의 넓이의
합이라고 생각하는 것입니다 먼저 사다리꼴
전체의 넓이로 생각해 봅시다 사다리꼴의 넓이는
어떻게 구할 수 있을까요? 사다리꼴의 넓이는
사다리꼴의 높이인 변 (a + b)를 윗변과 아랫변의
평균에 곱해서 구할 수 있습니다 따라서 사다리꼴의 넓이는 (a + b) × 1/2(a + b)입니다 윗변과 아랫변의 평균에
높이를 곱하면 사다리꼴의 넓이를
구할 수 있습니다 이번에는 각 도형의
넓이를 이용해 봅시다 첫 번째 방법으로
구한 식과 같아야겠죠 두 번째 방법으로
사다리꼴의 넓이를 구해 봅시다 그림에서 직각삼각형
두 개를 찾을 수 있죠? 직각삼각형의 넓이는
각각 1/2 × ab가 될 것입니다 이런 직각삼각형이
두 개 있으므로 여기에 2를
곱해야 되겠죠 1/2 × ab에 2를 곱하면 아래쪽 삼각형과 위쪽 삼각형의
넓이의 합이 됩니다 큰 삼각형의
넓이는 얼마일까요? 초록색으로
칠해 볼게요 1/2 × c × c겠죠? 이는 1/2 × c²으로
쓸 수 있으므로 식은 2 × 1/2 × ab × 1/2 × c²이
되겠네요 식을 간단하게 정리해서
맞는지 확인해 봅시다 식을 보기 쉽게
다시 써 볼게요 식의 좌변을 정리하면
1/2 × (a+b)²이 되고 식의 우변은
2 × 1/2 × ab에서 2가 약분되므로
그냥 ab가 되겠죠 따라서 우변은
ab + 1/2 × c²이 됩니다 양변에 2를 곱해서
1/2을 없애 봅시다 양변에 2를 곱해주면 좌변에는
(a+b)²이 남게 되고 우변에서
2를 분배해주면 ab는 2ab가 되고 1/2 × c²의 2는
약분됩니다 따라서 우변의 식은
2ab + c²이 됩니다 좌변의 (a+b)²을
계산하면 어떻게 될까요? a² + 2ab + b²이 되겠죠 식의 우변은
변한게 없으므로 그대로 써주면 되겠죠 복사해서
붙여 넣어 볼게요 따라서 식은
a² + 2ab + b² = 2ab + c²이 됩니다 식을 간단히
해 볼까요? 양변에 모두
2ab가 있으므로 양변에서 2ab를
빼 봅시다 식의 양변에서
2ab를 빼주면 어떻게 될까요? 피타고라스의 정리가
남게 됩니다 a² + b² = c² 재미있죠? 미국의 20대 대통령
제임스 가필드 덕분에 피타고라스의 정리를
이렇게 증명해 보았습니다 정말 흥미롭지 않나요? 피타고라스의 정리는 제임스 가필드가
이를 증명하기 전에도 수천 년 동안
존재했었습니다 이를 제임스 가필드가
증명해낸거죠