입체도형과 피타고라스 정리

여기 신기하게 생긴 도형이 하나 있습니다 여기 신기하게 생긴 도형이 하나 있습니다 이 도형의 아랫부분은 직육면체입니다 그러면 이 직육면체의 길이를 살펴볼까요? 사각뿔을 제외한 직육면체의 높이는 3 밑면의 긴 부분은 4 밑면의 짧은 부분은 2 입니다 직육면체의 윗 부분을 보세요 이 도형은 직사각뿔이라고 부릅니다 이 사각뿔의 높이는 밑면의 중점에서 제일 윗부분인 이 부분까지에요 여기까지가 사각뿔의 높이에요 이 사각뿔의 높이는 1입니다 높이 외에 다른 부분의 길이는 안써있네요 주어져 있는 길이들을 사용해서 이 부분의 길이를 알아낼거에요 주황선으로 그린 이 부분이 보이나요? 이 부분의 길이는 어떻게 될까요? 이 부분의 길이 또는 이 부분의 길이는 어떻게 될까요? 구하려고 하는 길이를 x라고 하겠습니다 우선, 문제를 같이 풀기 전에 동영상을 잠시 멈추고 혼자 먼저 풀어보는 것도 좋아요 방금 이 사각뿔은 직사각뿔이라고 했죠 그것이 의미하는 것은 여기에 있는 빨간색 선은 길이가 1이고 수직임을 의미해요 길이가 1이고 수직임을 의미해요 사각뿔의 꼭지점부터 밑면의 중점까지가 수직이에요 방금 말했듯이 동영상을 잠시 멈추고 먼저 풀어보는 것도 좋아요 우선 문제에 대한 힌트를 줄게요 피타고라스 공식을 사용해서 풀면 돼요 아마도 이 공식을 여러 번 써야할지도 몰라요 여러분이 풀어봤다고 생각하고 같이 문제를 풀어보도록 할게요 우선 이 문제에서 핵심은 이 부분이에요 여기 있는 밑면에 있는 이 점이에요 이 부분을 중심으로 여기와 여기 길이가 반으로 나뉘죠 이 부분을 중심으로 여기와 여기 길이가 반으로 나뉘죠 따라서 여기에 있는 길이를 모두 구할 수 있어요 이 부분의 길이는 4이고 이 길이의 반은 생각해봅시다 2가 되겠죠? 이 부분도 2가 되겠고요 이렇게 돼요 또 다른 부분의 길이를 구해 봅시다 그러면 이 부분의 길이는 다시 한번 말하면, 이 중점에서의 길이는 전체 길이의 반이에요 여기 전체 길이가 2라면 여기 잘 보세요 이건 직육면체예요 따라서 이 부분의 길이는 이 부분의 길이와 같겠죠 따라서 전체 길이는 2이므로 이 부분은 1이 되겠죠? 여기 길이도 1입니다 이렇게 구한 길이가 어떻게 도움이 될까요? 이렇게 구한 길이들은 이 부분의 길이를 구하는데 도움이 돼요 이 부분은 이 색깔로 할게요 이 색이 보기 쉽거든요 이제 이 길이를 구할 수 있겠네요 왜 이 길이가 중요하냐고요? 이 길이는 직각삼각형 한 부분의 길이에요 이 부분의 길이를 알게 되면 이 길이와 이 길이 등등 알고자 하는 길이 즉 직각삼각형의 빗변의 길이를 구할 수 있어요 피타고라스의 공식을 이용해서요 따라서 이 길이를 알게되면 x의 길이도 알 수 있게 되죠? 하나씩 풀어볼게요 어떻게 길이를 알 수 있을까요? 이 길이를 우선 a라고 쓰고 a의 길이는 어떻게 구할까요? 같이 구해 봅시다 옆에 이 부분을 그려볼게요 옆의 도형을 따로 여기에 그리면 이 부분을 따로 그리면 이런 삼각형이 되겠죠? 평면도형으로 봤을 땐 이렇게 될거에요 여기 이 길이는 a 이 길이는 이미 알고 있죠 이 길이의 반이죠 따라서 이 길이는 여기도 같은 색깔로 표기할게요 따라서 이 길이는 여기에 있는 길이와 같아요 그러므로 길이는 1이겠죠? 그리고 여기 이 부분은 여기에 있는 이 부분과 같겠죠 따라서 이 길이는 2가 됩니다 이제 피타고라스 공식을 쓸 수 있겠어요 삼각형 빗변 길이의 제곱은 1² + 2² 과 같아요 1² + 2² 이를 더하면 1 + 4는 5 5와 같겠죠 여기에 적어보면 분홍색으로 써볼게요 a² = 5 이렇게 쓸 수 있겠죠? 또는 다른 방법으로 쓰면 a = √5 라고 쓸 수도 있어요 따라서 이 빗변의 길이는 √5가 됩니다 그러면 이제 이 답을 가지고 x의 길이를 알아내면 되겠어요 이제 여기 있는 이 삼각형을 방금 a 길이를 구할 때처럼 옆에 그려볼게요 이 삼각형도 직각삼각형이에요 여기 이 높이 1은 이 삼각형의 길이와 같아요 옆에 그려볼게요 이 길이를 알고 있죠? 여기는 √5 그리고 높이도 알고있죠 이렇게 해볼게요 그러면 여기 이 길이는 여기에 있는 높이 1과 같아요 따라서 길이를 1이라고 합시다 이제 x의 길이만 구하면 되겠어요 이제 여기 주황색으로 표시된 x의 길이를 구할거에요 그러면 같이 구해 봅시다 이 삼각형이 직각삼각형이라는 것을 알고있죠? 직각삼각형이니까 피타고라스 공식을 쓸 수 있겠죠 공식을 사용하면 x² x²은 1² + (√5)² 1² + (√5)² 그러므로 x²은 1 + 5가 되겠죠? (√5)²은 5입니다 따라서 1 + 5가 되니까 6이 나와요 x²은 6 x는 √6 이렇게 해서 x를 구했습니다