주요 내용
고등학교 기하학
코스: 고등학교 기하학 > 단원 1
단원 4: 회전이동 (중등1학년)원점에 대해 도형을 90° 단위로 회전하기
원점을 중심으로 90°배만큼 회전하는 상황에서, 도형의 상을 어떻게 그리는지 배웁니다.
원리
이번 단원에서는 도형을 회전하는 방법을 연습할 것입니다. 수학적으로 말하자면, 회전하는 조건이 주어졌을 때, 주어진 도형을 회전하여 그리는 방법을 배울 것입니다.
이번 단원에서는 양의 방향(반시계방향)과 음의 방향(시계방향)으로의 90, degrees배수 회전을 중점적으로 배울 것입니다.
파트 1: 점을 90, degrees, 180, degrees, 그리고 minus, 90, degrees만큼 회전하기
예제
원점을 중심으로 A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis를 90, degrees 회전한 결과인 A, prime을 구하고자 합니다.
문제를 시각화하여 살펴봅시다. 양의 회전은 반시계방향이므로, 이런 식으로 회전할 것입니다.
A, prime을 시각적으로 나타내었습니다. 하지만 정확한 좌표를 구해야 하는데, 두 가지 방법이 있습니다.
풀이법 1: 시각적으로 접근하기
한 꼭지점이 원점이고 반대편 꼭지점이 A인 직사각형이 있습니다.
90, degrees 회전은 마치 직사각형을 옆으로 돌리는 것과 같습니다:
A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis를 회전한 결과 A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis이 됩니다.
축에 있는 점들을 회전시키는게 훨씬 쉽고, 이에 따라 A가 회전된 도형을 구하기 더 쉬워집니다.
| 점 | left parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis | left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis |
|---|---|---|---|
| 회전된 도형 | left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis |
풀이법 2: 대수적으로 접근하기
A와 A, prime를 자세히 살펴봅시다.
| 점 | x좌표 | y좌표 |
|---|---|---|
| A | start color #01a995, 3, end color #01a995 | start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff |
| A, prime | minus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff | start color #01a995, 3, end color #01a995 |
이 신기한 현상에 주목하세요: A의 x좌표는 A, prime의 y좌표가 되고, 반대로 A의 y좌표는 A, prime의 x좌표가 됩니다.
다음과 같이 수학적으로 나타낼 수 있습니다:
이는 A에 대해서 뿐만 아니라, 임의의 점에 대하여 참입니다. 여기 몇 가지 예시를 살펴봅시다:
게다가, 180, degrees 또는 minus, 90, degrees 회전도 비슷한 패턴을 따릅니다:
이 성질을 이용하여 적절한 식에 좌표를 대입하면 임의의 점을 회전시킨 도형의 좌표가 나옵니다.
연습문제
연습문제 1
연습문제 2
그래프 풀이법 vs. 대수적 풀이법
일반적으로, 두 가지 방법 중 아무거나 선택합니다. 사람마다 제각각입니다.
대수적 풀이법은 덜 힘들고 시간이 별로 안들지만, 이 패턴을 기억해야 합니다. 그래프 풀이법은 언제든지 마음대로 할 수 있지만, 시간이 더 걸립니다.
파트 2: 90, degrees의 배수로 확장시키기
예제
원점을 중심으로 D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis를 270, degrees 회전한 결과인 D, prime을 구하고자 합니다.
풀이
270, degrees 회전은 90, degrees를 세 번 회전시키는 것과 같으므로, 연속적으로 90, degrees 회전을 세 번 시행하여 그래프로 구할 수 있습니다:
잠시만요! 270, degrees 회전 대신 minus, 90, degrees 회전도 됩니다. 이 두 회전은 동일합니다. 확인해 봅시다:
같은 논리로, 패턴 R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis도 사용할 수 있습니다:
하나 더 풀어보기
원점을 중심으로 left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis을 810, degrees 회전시킨 점을 구하고자 합니다.
풀이
810, degrees 회전은 연속적으로 360, degrees 회전 두 번, 90, degrees 회전 한 번한 것과 같습니다 (810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
360, degrees 회전은 모든 점이 자기 자신으로 돌아옵니다. 즉, 아무것도 변하지 않습니다.
따라서 810, degrees 회전은 90, degrees 회전과 같습니다. 그러므로, 패턴 R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis을 사용할 수 있습니다:
연습문제
연습문제 1
연습문제 2
파트 3: 다각형의 회전
예제
아래 사각형 D, E, F, G가 있습니다. 회전 R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript에 대한 도형 D, prime, E, prime, F, prime, G, prime을 그려봅시다.
풀이
평행이동과 마찬가지로, 다각형을 회전시킬 때, 모든 꼭지점을 회전시키고, 회전시킨 점을 모두 이어서 회전된 도형을 구할 수 있습니다.