기하학적 정의에 대한 예시

기하학의 대부분은 세상 일들을 증명하는데에 쓰입니다 그리고 진짜로 증거를 보이려면 아주 조심스럽고 꼼꼼하고 정확하게 말해야합니다 그래야 우리가 뭘 증명하는지 뭘 추정하는지 그리고 뭘 공제하는지를 알 수 있습니다 그래서 우리가 정확하게 설명하기를 연습하기 위해서 칸 아카데미의 문제집에서 몇 문제를 볼겁니다 첫번째 문제: "3 학생들이 선 l과 m이 직각선을 설명하려고 한다 선생님의 논평을 설명과 맞출 수 있냐?" 그러니까 이 3 학생들이 직각된 선이 뭔지 설명하려고 하고 그거에 선생님이 답을 했는데 이걸 맞춰야합니다 우리가 선생님인 척을 합시다 이것은 루비의 설명입니다: "선 l과 m은 서로 만나지 않으면 직간선이다" 이건 오답입니다 직각선이면 당연히 교차를 합니다 직가에서 교차를 하는게 직각선 그러니까 이 설명은 틀렸습니다 그래서 선생님이 대답합니다 "혹시 평행선을 생각한거니?" 아무래도 그것을 설명해 버린 것 같습니다 똑같은 평행면에 있고 교차를 안 한다면 평행선입니다 이것은 스리야의 설명입니다: "l과 m이 한 지점에서 만나고 그 만나는 지점에 있는 각이 직각이면 직각선이다" 다 맞은 것 같습니다 저라면 "잘했네! 나도 그렇게 설명했을거야" 라고 대답할 것 같습니다 이 답이 그냥 이 설명에 맞는지 확인만 하면 됩니다 이것은 아비셱의 설명입니다: "한 지점에서 만나면 이 두 선들이 T자를 만듭니다" 이 설명도 어느 정도는 맞습니다 직각선을 생각해보면 이 선들이 어떤 십자나 T자같은 표를 만듭니다 하지만 이렇게 대답을 합니다 "너의 설명이 맞긴 하지만 수학적인 설명이 아니야" T자라고 말하면 안 됩니다 T를 만드는게 뭡니까? 스리야의 설명이 더 정확합니다 "l과 m이 한 지점에서 만나고 그 만나는 지점에 있는 각이 직각이면 직각선이다" 정답을 확인합시다 문제를 좀 더 풀어봅시다 이거 재미있네요 또 3 학생들이 나옵니다 근데 이번에는 각을 설명합니다 "선생님의 답을 설명을 맞츨 수 있나요?" 똑같은 학생들이 나섭니다 이것은 루비의 설명입니다: "공통 꼭짓점이 있는 두 직선들 사이의 전환의 양이다" 어느 정도 맞습니다 각 얘기를 할 때는 공통 꼭짓점이 있는 두 직선을 얘기해야합니다 그녀는 이것을 얘기하고 또 전환의 양도 얘기합니다 그녀는 각도를 설명하는 것 같습니다 답을 봅시다 "네가 각도를 이해하는 거는 보이고 각 자체에 대한 설명이 보이지 않는다" 아무래도 이렇게 대답을 할 것 같습니다 운 좋게도 이미 일치가 됬네요 이것은 스리야의 설명입니다: 이건 좀 아닙니다 각의 두 선들은 공통 꼭짓점이 있어야합니다 "두 선들이 만난다" 이건 그냥 교차하는 선입니다 이러면서 각을 만들 수는 있겠지만 저라면 답이 "혹시 교차하는 선을 생각한거니?" 일 것 같습니다 아비셱의 설명은 이것입니다 "공통 종점이 있는 두 선을 이용해서 만든 것 이 공통 종점을 꼭짓점이라고 한다" 이게 가장 좋은 설명입니다 이번엔 아비셱이 맞았습니다 또 한 문제 더 합시다 이번에 3 다른 학생들이 평행선을 설명합니다 선생님의 답을 또 맞춰야합니다 이것은 다니엘라의 설명입니다: "두 선이 뚜렷하게 다르고 한 선을 다른 선 위에 옮길 때 겹쳐지면 평행선이다" 이거 사실 좀 흥미로운 설명이지만 이렇게 평행선을 설명하는 것이 조금 복잡할 수도 있습니다 저라면 "같은 평면에 있고 교차하지 않으면 평선이야" 라고 얘기했을겁니다 근데 무언가를 옮기면 회전하거나 방향을 바꾸지는 않을테니 좀 괜찮은 설명입니다 복잡하지만 말은 됩니다 그래서 만약에 한 선을 옮긴다면 이 두 다른 선이 가리키는 방향을 바꾸지 않으면서 이동시키면 제대로 겹쳐집니다 그래서 답은 이거입니다 이것은 오리의 설명입니다 "두 선이 같이 가까이 있지만 교차하지 않으면 평행선이다" 그런데 평행선을 구분하려면 거리가 중요한게 아닙니다 같은 평면에 있어야 하고 교차하지 않아야 합니다 엄청 멀리 떨어져있어도 평행선일 수 있습니다 이게 틀린 말은 아닙니다 엄청 가까이 있으면서 같은 평행면에서 교차하지 않으면 평행선입니다 하지만 좋은 설명은 아닙니다 왜냐하면 멀리 떨어져 있는 선도 평행선일 수 있습니다 저라면 이렇게 대답합니다 "네 설명의 어느 부분은 맞았지만 다른 부분이 틀렸어 평행선은 가까이 있을 필요가 없어" 그러니까 좋은 설명이 아닙니다 이것은 카오리의 설명입니다: "두 선이 직각선이 아니면 평행선이다" 그건 사실이 아닙니다 이 두 선들이 교차를 할 때 직각으로 교차하지 않을 수도 있습니다 평행이지도 않고 직각이지도 않고 대답은: "미안하지만 오답이구나" 선생님인 척을 하니 재미있네요 또 하나 해봅시다 여기서 또 3 학생들이 있습니다 이번에는 선분을 설명해라 여기에 선분이 하나 그려져 있기까지 합니다 여기 점 P와 점 Q와 그 사이에 선도 그려져 있습니다 선생님의 답변을 또 맞춰봅시다 이것은 아이비의 설명입니다: "P랑 Q와 같이 양쪽으로 끝없이 길어진다" 선을 설명했습니다 선 PQ 그러나 선을 설명을 했으니까 틀렸습니다 제 대답은: "선분말고 선을 생각하고 있니?" 이것은 이선의 설명입니다: "P에서 Q까지의 길이" 그것은 선분의 길이입니다 선분을 설명하지는 않았습니다 이것은 에부카의 설명입니다: "단점이라고 불리는 점 P와 Q와 그 사이에 반듯한 선으로 있는 모든 점들이 선분이다" 이것이 선분을 위한 좋은 설명입니다 답을 확인해 봅시다 잘 했네요 하나 더 합시다 선생님답게 또 해 봅시다 3 학생들이 원을 설명하려고 합니다 원의 설명을 보고 선생님의 대답을 맞춰야합니다 두루: "한 평면에 있는 어떤 중심으로 잡힌 점에서 왠만한 거리인 모든 점들이다" 원을 잘 설명한 것 같습니다 제 대답은: "대단하다! 잘 했어." 올리버의 설명: "삼차원에서 있는 점들이 어떤 중점에서 똑같은 거리일 때다" 삼차원 안에 있는 등거리의 점들을 얘기하는 거면 원이 아닌 구를 얘기하는 겁니다 제 대답은: "네가 원과 구를 햇갈리는 것 같구나" 그리고 이 마지막 설명: "완벽하게 동그란 모양" 어느 정도 맞지만 삼차원 얘기일 수도 있고 그런 경우에는 구입니다 그거를 넘어서 갈 수도 있습니다 그런 경우에는 초구나 등등 이차원 얘기를 하면 원이라고 부르겠지만 설명을 좀 더 명확하게 해야합니다 안 그러면 안 그럴수록 수학적으로 해결하기 힘듭니다 저라면 이렇게 답하겠습니다: "너의 설명이 좀 더 정확해야 돼" 두루의 설명은 엄청 정확합니다 어떤 평면에 있는 점을 중심으로 잡고 그 점에서 등거리의 모든 점들이 원을 만들게 됩니다 칼로스는 좀 더 정확성을 써야합니다 수업 끝입니다