기하학의 아버지 유클리드

자연의 법칙은 신의 수학적인 생각이다 이 구절은 유클리드의 말을 인용한 것입니다 그리스의 수학자이자 철학자로 기원전 약 300년에 살았습니다 유클리드에 대해서 얘기하는 이유는 그가 기하학의 아버지이기 때문입니다 신의 존재 여부와 상관없이 자연에 관한 근본적인 말을 하고 있습니다 자연의 법칙은 신의 수학적인 생각입니다 수학이 모든 자연의 법칙을 뒷받침합니다 기하학이라는 단어는 그리스에서 유래됐습니다 Geo는 그리스어로 땅을 뜻합니다 Metry는 측정을 의미하는 그리스어입니다 여러분은 아마 미터법에 익숙할 것입니다 유클리드는 기하학의 아버지로 불립니다 기하학을 연구한 첫 번째 사람이어서가 아닙니다 지구의 첫 인류가 기하학에 대해서 연구했다고 상상해보세요 땅 위에서 이렇게 놓여진 나뭇가지를 보았을 수도 있습니다 어쩌면 이렇게 놓여진 나뭇가지를 보았을지도 모르죠 오른쪽 나뭇가지가 더 벌어져 있군 이것을 어떻게 설명할 수 있을까? 혹은 나무를 보며 이러한 이야기를 나누었을 수도 있습니다 두 쌍의 나뭇가지가 벌어진 정도가 서로 비슷하구나 스스로에게 이렇게 물었을 것입니다 비율(ratio)이란 무엇을 뜻할까? 원의 둘레와 지름 사이에는 어떠한 관계가 있는 걸까? 그러한 관계가 모든 원에 적용될 수 있을까? 그것이 참임을 증명할 수 있는 방법이 있을까? 초기 그리스 시대로 돌아가봅시다 인간은 심도있게 기하학적인 사고를 하기 시작했습니다 여러분이 피타고라스와 같은 그리스 수학자에 대해서 이야기 할 때 유클리드보다 이전 사람임에도 불구하고 유클리드를 기하학의 아버지라고 부르고 기원전 300년전의 유클리드 기하학에 대해 얘기하는 이유는 무엇일까요? 라파엘이 그린 유클리드입니다 사실 아무도 그가 어떻게 생겼는지 모릅니다 언제 태어나고 죽었는지도 모르죠 그래서 이 그림은 추측으로 그렸을 것입니다 유클리드가 기하학의 아버지가 될 수 있었던 것은 그가 쓴 기하학원론 덕분입니다 그리고 기하학원론은 13권으로 구성되어 있습니다 논란의 여지 없이 기하학원론은 가장 유명한 교과서일 겁니다 13권의 책에는 철저하고 사색적인 논리가 있습니다 기하학과 정수론에 관해서 집필했으며 3차원 기하학 내용까지 다루었습니다 그리고 여기있는 이 그림이 기하학 원론의 표지입니다 기하학 원론 영어 버전의 초판본이기도 합니다 기하학원론은 1570년에 처음으로 번역되었습니다 물론 처음에는 그리스어로 쓰였겠지요 그리고 중세 시대를 지나는 동안 아랍인들에 의해 전파되었습니다 아랍어로 번역되었죠 중세 시대 말에 라틴어로 번역이 되었고 결국 영어로 번역될 수 있었습니다 철저한 논리를 펼쳤다는 의미는 바로 이러한 자세를 말합니다 직각 삼각형의 두 변의 길이의 제곱의 합을 구해보니 빗변의 제곱과 같더라는 주장을 펼치기보다 깊숙히 파고들어 이 모든 것들의 의미를 탐구하고 싶어했습니다 명쾌하지 않은 증명에 만족하지 않고 왜 참일 수 밖에 없는지 확실히 증명하고 싶어했습니다 그래서 유클리드는 기하학원론에서 특히 평면기하학에 대해 쓴 제 6권에서 기본적인 가정에서부터 시작했습니다 기하학 용어로 그 기본적인 가정을 공준 또는 공리라고 합니다 그리고 그 공리를 사용하여 다른 명제들을 증명했습니다 이 명제와 이 명제가 참이라면 반드시 이 명제 또한 참라는 것을 증명한 것입니다 또한 참이 될 수 없는 가정에 대해서도 증명했습니다 그러면 참이 될 수 없는 명제에 대하여 확실히 증명할 수 있었습니다 유클리드는 모든 원은 특정한 성질을 만족한다고 일방적으로 주장하기보다 한 명제에 대하여 증명하고 거기서부터 또다른 명제를 증명하는 식으로 추론해 나갔습니다 추론을 하기 위해서는 공리를 사용했습니다 이것이 특별한 이유는 어느 누구도 이렇게 증명한 적이 없기 때문입니다 지식을 가리고 있는 불확실한 그림자를 넘어 철저하게 증명해 나갔습니다 그냥 하나씩 증명한 게 아니라 기하학 전반에 대한 내용을 증명하고자 했습니다 목표를 가지고 철저하게 임했기 때문에 공리, 공준, 명제, 이론들을 성립해 나갈 수 있었습니다 여기서 이론과 명제는 근본적으로 같은 의미입니다 그리고 유클리드가 죽고 약 2,000년이 지난 지금도 기하학원론을 읽고 이해하지 못했다면 잘 교육받은 사람으로 인정받지 못하고 있습니다 유클리드의 기하학원론은 서양에서 두 번째로 많이 팔린 책입니다 성경 다음으로요 성경 다음으로 많이 팔린 책이 바로 수학 교과서입니다 처음으로 활판인쇄기가 나왔을 때 사람들은 성경을 인쇄했습니다 다음으로는 유클리드의 기하학원론을 인쇄했습니다 이것이 상당히 최근의 일이라는 것을 보여주기 위하여 비록 여러분이 150~160 년 전 일을 최근으로 동의하느냐 안하느냐에 달려있습니다만 에이브러햄 링컨의 말을 인용하겠습니다 미국에서 가장 뛰어난 대통령 중 한 사람이지요 개인적으로 저는 이 사진을 좋아합니다 링컨이 30대 후반일 때의 사진입니다 그는 기하학원론의 엄청난 팬이었습니다 마음을 안정시키기 위하여 이 책을 읽었다고 합니다 말을 타는 동안에도 이 책을 읽었고 백악관에서 읽기도 했습니다 다음 내용은 링컨의 말을 정확하게 옮긴 내용입니다 법률학 강의에서 논증이라는 단어가 끊임없이 생각났다 처음에 그 의미를 이해하고 있다고 생각했지만 곧 그렇지 않다는 사실을 받아들였다 내 자신에게 물었다 이유를 설명하거나 증명하는 것을 넘어 논증하기 위해서는 무엇을 해야하는가? 증명과 논증은 어떻게 다른가? 여기서 논증이라는 단어를 사용하고 있는데 이는 한 치의 의심이 없도록 증명하는 것입니다 좀 더 엄격한 것이지요. 단순히 어떤 사실에 대해 만족하거나 추론하는 것을 넘어서는 것입니다 나는 웹스터 사전을 찾아보았다 웹스터 사전은 링컨이 살던 시대에도 있었습니다 거기에는 특정한 증명이 있었다 그 증명은 한 치의 의심도 허락하지 않았다 그것이 어떤 종류의 증명인지 알 수 없었다 내가 생각하기에 굉장히 많은 것들이 의심의 가능성을 남겨두지 않고 증명이 되었다 내가 생각하는 논증이라는 대단한 절차를 거치지 않고도 말이다 모든 사전과 참고 서적을 찾아보았다 그렇지만 성과는 없었다 마치 장님이 파란색의 정의를 들은 것과도 같은 기분이었다 스스로 말했다 논증이 무슨 의미인지 이해하지 못한다면 절대로 변호사가 될 수 없을 거야 나는 스프링필드를 떠나 아버지의 집으로 갔다 그리고 유클리드의 기하학원론 6권을 이해할 수 있을 때까지 머물렀다 여섯 권의 책은 평면 기하학에 대한 내용이었습니다 그 책을 통해 논증의 의미를 발견하였고 다시 법을 공부하러 돌아갈 수 있었다 가장 훌륭한 미국 대통령 중 한 명인 링컨은 훌륭한 변호사가 되기 위해서 기하학원론의 여섯 권의 내용을 이해하고 증명할 수 있어야만 한다고 생각했습니다 또한 백악관에서도 훌륭한 대통령이 되기 위하여 계속해서 기하학원론이라는 책을 가까이했습니다 우리가 기하학을 공부할 때 해야할 일이 바로 이겁니다 어떻게 하면 철저하게 증명을 할 수 있을까 고민하는 것입니다 우리는 유클리드가 2,300여년 전에 쓴 기하학원론을 현대판 버전으로 공부하려 합니다 정확하게 추론하고 주장한 내용을 증명할 수 있다고 확신하기 위해서 입니다 우리가 공부하려는 것은 가장 기초적이면서도 가장 수학다운 내용입니다 산수는 단순 계산에 지나지 않았습니다 이제 기하학에서 정확히는 유클리드 기하학에서 진짜 수학을 보게 될 것입니다 몇 개의 가정을 세우고 그 가정을 통해 다른 명제를 증명해나가려 합니다