원뿔의 부피

원뿔의 부피에 대해서 생각해 봅시다 원뿔은 밑면이 원입니다 뒤집어진 경우도 있어요 고깔모자와 같이 밑면은 원이고 위로 솟은 모양이겠죠 원뿔은 이렇게 생겼을 거예요 또는 아이스크림콘처럼 원이 위쪽에 오도록 원뿔을 뒤집힌 형태로 그려줄 수도 있습니다 정수기에 비치된 일회용 컵 모양같네요 원뿔의 부피를 구할 때는 밑면의 반지름을 알아야 합니다 밑면의 반지름은 여기가 될 거예요 뒤집힌 원뿔에서는 여기가 반지름이 되겠죠 원의 반지름을 아는 것은 매우 중요합니다 또한 원뿔의 높이도 알아야 합니다 이 높이를 h라고 합시다 뒤집힌 원뿔의 높이도 h가 되겠죠 원뿔의 부피를 구하는 공식은 원기둥의 부피를 구하는 공식과 비슷합니다 입체도형은 그렇게 복잡하지 않아요 여기는 밑면이죠 밑면의 넓이는 얼마일까요? 밑면의 넓이는 πr²이 되겠죠 πr²에 높이 h를 곱해주면 이렇게 생긴 원기둥의 부피가 나옵니다 이 도형의 전체 부피를 구할 수 있어요 이 원기둥의 윗부분에 원뿔의 끝이 닿아 있습니다 πr²h 또는 h × πr²은 원기둥의 부피를 나타냅니다 원뿔의 부피는 원기둥 부피의 1/3입니다 1/3 × h × πr²이죠 이 원뿔은 원기둥 부피의 1/3이에요 원뿔로 원기둥을 둘러싸고 있다고 할 수 있겠죠 식을 다시 쓰면 1/3 × πhr² 또는 (π/3)hr²입니다 원기둥의 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱한 것입니다 원뿔의 부피는 둘러싸고 있는 원기둥 부피의 1/3입니다 수를 대입해서 맞는지 확인해 봅시다 원뿔 모양의 종이컵에 물이 131 ㎤ 들어있습니다 이 원뿔의 높이 h는 5 ㎝입니다 이때 이 종이컵 윗면의 반지름은 얼마일까요? 답은 소수 둘째 자리에서 반올림해 봅시다 공식에 대입해 볼까요? 부피는 131 ㎤이며 이는 1/3 × π에 높이 5 ㎝와 반지름의 제곱인 r²을 곱해준 것과 같습니다 반지름의 제곱을 풀기 위해 양변을 1/3 × π x 5 ㎝로 나눠 봅시다 양변을 1/3 × π x 5 ㎝로 나눠주면 r² = (3 × 131 ㎤)/(π × 5 ㎝)가 됩니다 1/3로 나눠주는 것은 3을 곱하는 것과 같으며 π로 나눠줬으므로 분모에는 π가 옵니다 그리고 분모에 5 ㎝도 오겠죠 식을 정리해 봅시다 ㎝ 단위는 약분되서 분자에는 ㎠만 남겠네요 이제 r을 구하기 위해 양변에 근호를 씌워 봅시다 (3 × 131)/(π × 5) = 393/5π이므로 r = √(393/5π) ㎝입니다 근호를 씌워줬기 때문에 단위는 √㎠ = ㎝가 됩니다 이제 이 복잡한 식을 계산기로 계산해 봅시다 √(393/5π) ㎝를 계산해서 소수 둘째 자리에서 반올림해주면 5 ㎝가 되네요 따라서 반지름은 약 5 ㎝입니다