주요 내용

고등학교 기하학

단원 3: 겉넓이와 부피

부피 공식 복습

각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구의 부피 공식을 복습해 봅시다.

부피 공식이 매우 많은 것 처럼 보이지만 사실 부피 공식은 다 비슷합니다.

{부피}_{각기둥} = (밑면의 넓이) \cdot (높이)

각기둥의 높이는 각기둥의 밑변에 수직해야 합니다. 이것은 각기둥이 누워 있을 때나, 기울어져 있을 때도 성립해야 합니다.

직사각기둥의 부피에 대해 알아봅시다. 정육면체를 가지고 이 각기둥을 만든다고 생각해봅시다.

직사각기둥의 높이만 밑면에 수직하도록 측정한다면, 어떤 면이든 밑면이 될 수 있습니다.

\begin{aligned} {부피}_{직사각기둥} & = ({넓이}_{직사각기둥}) \cdot (높이) \\ = ((직사각형의 밑변) (직사각형의 높이)) \cdot (각기둥의 높이) \\ = l w h \end{aligned}

삼각기둥은 밑면이 삼각형입니다.

\begin{aligned} {부피}_{삼각기둥} & = ({넓이}_{삼각형}) \cdot (높이) \\ = (\frac{1}{2} (삼각형의 밑변) (삼각형의 높이)) \cdot (각기둥의 높이) \\ = \frac{1}{2} b h ℓ \end{aligned}

원기둥은 밑면이 원인 기둥입니다.

\begin{aligned} {부피}_{원기둥} & = ({넓이}_{원}) \cdot (높이) \\ = (π \cdot (반지름)^{2}) \cdot (높이) \\ = π r^{2} h \end{aligned}

기울어진 각기둥에서 밑면은 평행한 면입니다.

카벨리에의 정리에 의해 부피를 같은 방법으로 정확히 계산할 수 있습니다.

기울어진 각기둥의 부피를 나타낸 식은 무엇인가요?

{부피}_{각뿔} = \frac{1}{3} (밑변의 넓이) \cdot (높이)

각뿔의 높이는 밑면에 수직하게 측정합니다. 카빌리에 법칙에 의해 기울어진 각뿔에 같은 부피 공식을 적용할 수 있습니다.

직사각뿔의 밑면은 직사각형입니다.

\begin{aligned} {부피}_{밑면이 직사각형인 각뿔} & = \frac{1}{3} ({넓이}_{직사각형}) \cdot (높이) \\ = \frac{1}{3} ((직사각형의 밑변) (직사각형의 높이)) \cdot (각뿔의 높이) \\ = \frac{1}{3} l w h \end{aligned}

A 원뿔은 밑면이 원인 뿔입니다.

\begin{aligned} {부피}_{원뿔} & = \frac{1}{3} ({넓이}_{원}) \cdot (높이) \\ = \frac{1}{3} (π \cdot (반지름)^{2}) \cdot (높이) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h \end{aligned}

{부피}_{구} = \frac{4}{3} π (반지름)^{3}

정렬 기준: