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닮음을 사용하여 직선의 기울기가 상수임을 증명

동영상 대본

직선에서 x에 대한 y의 비율은 일정합니다 이는 즉, 직선의 경사 또는 기울기가 일정하다는 의미에요 기울기는 Δy / Δx로 나타낼 수 있습니다 이 때 Δ는 변화량을 뜻하는 그리스어 델타입니다 따라서 기울기는 y의 값의 변화량 / x의 값의 변화량 입니다 직선에서는 기울기의 값이 일정합니다 이번 강의에서는 닮은 삼각형을 이용해 기울기를 증명해 볼 거예요 점을 2개 표시해 볼게요 이 점에서 시작해서 저 점에서 끝난다고 합시다 이 두 점 사이에서 x값은 얼마나 변했을까요? 이 점의 x값은 여기 있고 이 점의 x값은 여기 있어요 그러므로 x의 값의 변화량은 이만큼이 되겠죠 그렇다면 y는 얼마나 변했을까요? 이 점의 y값은 여기 있고 이 점의 y값은 여기 있습니다 그러므로 이 높이가 y의 값의 변화량이 됩니다 이 부분이 y의 값의 변화량입니다 이제 다른 두 점을 그려 볼게요 여기 한 점이 있고 여기 또 다른 한 점이 있습니다 마찬가지로 x가 얼마나 변했는지 찾아 봅시다 이 점의 x값은 여기이고 이 점의 x값은 여기죠 그러므로 여기에서 시작해서 여기까지 간다면 이 길이가 두 점 사이의 x의 값의 변화량이 되겠죠 y값의 변화량도 찾아 봅시다 이 점의 y값은 여기 있고 이 점의 y값은 여기 있어요 그러므로 y의 값의 변화량은 이만큼이 될 거예요 이제 이 부분의 y의 값의 변화량에 대한 x의 값의 변화량의 비율이 같다는 것을 증명해 봅시다 또는 두 삼각형에서 분홍색 변에 대한 초록색 변의 비율이 서로 같다는 것을 증명해 봅시다 임의의 점 두 쌍을 이용해 증명해 볼 거예요 닮음을 이용해서 증명해 볼 건데요 두 삼각형이 닮음이라는 것을 증명할 수 있다면 충분합니다 닮음에 대해 잠깐 짚고 넘어갈까요? 두 삼각형에서 세 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같을 때 닮음이라고 할 수 있습니다 세 각이 모두 같을 필요는 없어요 대응하는 각만 같으면 됩니다 그러므로 닮음은 대응하는 각의 크기가 같습니다 예를 들어 삼각형이 있다고 합시다 각은 각각 30도, 60도, 90도입니다 그리고 다른 삼각형을 하나 더 그려 볼게요 각은 역시 각각 30도, 60도, 90도입니다 각 변의 길이는 다르지만 두 삼각형은 닮음입니다 서로 확대하거나 축소하면 같은 도형이 됩니다 60도는 60도에 대응하고 30도는 30도에 대응하며 90도는 90도에 대응합니다 대응하는 각의 크기가 같아요 이렇게 닮음인 두 삼각형은 각 대응하는 변의 길이의 비율이 같습니다 두 삼각형이 닮음일 때 이 삼각형의 분홍색 변에 대한 초록색 변의 비율은 이 삼각형의 분홍색 변에 대한 초록색 변의 비율과 같습니다 이를 이용해 직선의 기울기가 일정하다는 것을 증명할 수 있습니다 두 삼각형이 닮음이라면 대응하는 변의 비도 항상 같겠죠 직선 위에 있는 임의의 점 두 쌍을 골랐기 때문에 이 증명은 직선 전체에 적용할 수 있습니다 이제 닮음을 증명해 봅시다 여기 있는 두 삼각형은 모두 직각삼각형입니다 초록색 선은 완전히 수평이고 분홍색 선은 완전히 수직을 나타내죠 초록색 선들은 수평 방향으로 뻗어나가며 분홍색 선들은 수직 방향으로 뻗어나가기 때문입니다 이렇게 직각을 표시해 볼게요 대응하는 각을 하나 찾았습니다 이제 다른 각도 대응하는지 알아봅시다 먼저 초록색 선 두 개를 계속 이어나가 볼게요 이 두 선은 선분이지만 직선이라하고 계속 그리면 이렇게 되겠죠 그러면 두 선이 평행하다는 것을 알 수 있어요 두 선은 완전한 수평 관계입니다 이제 이 두 선을 가로지르는 주황색 선을 그리면 이 각과 저 각이 대응하겠죠 평행선과 가로지르는 선이 만났을 때 생기는 각 중 대응하는 각은 크기가 같아요 그러므로 이 각과 저 각은 크기가 같습니다 이번에는 분홍색선을 연장시켜 봅시다 이렇게 수직 방향으로 선분을 연장시키면 두 선분은 y축과 직각을 이루죠 그러므로 두 선분은 평행을 이루게 됩니다 역시 이 주황색 선분은 두 선분을 가로지르는 선입니다 그리고 이 각은 저 각과 대응하죠 평행선과 가로지르는 선이 만났을 때 생기는 각 중 대응하는 각의 크기는 같으므로 두 각의 크기도 같습니다 분홍색 각끼리 크기가 같고 초록색 각끼리 크기가 같아요 그리고 두 각의 크기는 90도이죠 그러므로 두 삼각형은 닮음입니다 닮음 삼각형이라고 써 볼게요 이제 두 삼각형의 변의 비를 알아볼까요? 예를 들어 이 변은 a라고 하고 이 변은 b라고 할게요 그리고 이 변은 c라고 하고 이 변은 d라고 하겠습니다 두 삼각형은 닮음이므로 대응하는 변 사이의 비는 같습니다 그러므로 변 a와 변 b의 비는 변 c와 변 d의 비와 같게 될 거예요 a/b = c/d 이 비는 결국 기울기를 나타냅니다 즉 x의 변화량에 따른 y의 변화량을 나타내죠 이 값은 일정합니다 아까 한 직선 위에서 임의의 점 두 개를 두 쌍 골라서 직각삼각형을 만들었을 때 닮음이 된다는 것을 증명했죠 두 삼각형이 닮음일 때 수직선과 수평선 길이의 비는 같습니다 이것이 바로 기울기의 정의에요 그렇기 때문에 한 직선 상에서 기울기는 일정합니다