증명: 평행선은 삼각형의 변을 같은 비로 나눕니다

삼각형의 한 변과 선이 평행한 경우 다른 두 변을 비례하여 나눈다는 것을 증명해야 합니다 동영상을 멈추고 풀어보세요 이 그림을 사용하고 싶을 것입니다 이제 함께 풀어 봅시다 이 그림으로 시작해 봅시다 주어진 정보는 선분 ED와 CB가 평행한 것입니다 여기에 적어 봅시다 선분 ED는 CB와 평행합니다 ED가 문제에서 말하는 선분입니다 이는 삼각형의 한 변과 평행한 선분입니다 주어진 정보와 함께 여기 적혀진 정보를 사용하여 이를 증명해야 합니다 해당 선분이 두 변을 비례하여 나눕니다 비율은 원래 삼각형의 변과 나누는 선분의 한 편에 있는 변이죠 그리고 다른 편에 있는 선분의 비율은 이 선분이 가로지르는 양변의 비율과 같습니다 해당 두 변을 비례하여 나눈다는 것은 여기 이 삼각형을 보면 선분 AE을 EC로 나눈 것은 선분 AD를 DB로 나눈 것과 같다는 것입니다 여기 이 주장과 여기 밑줄친 부분은 이 삼각형에서 같은 의미입니다 가능한 한 방법은 삼각형 AED와 ACB의 닮음을 확인하는 것입니다 어떻게 할까요? 해당 두 선분이 평행하기 때문에 선분 AC는 두 평행하는 선분을 지나는 횡단선입니다 이는 해당 두 각도가 합동이라는 것입니다 그리고 각 1은 각 3과 합동이죠 이유는 해당 각도는 대응각이기 때문입니다 짧게 적어볼게요 이는 대응각의 속기입니다 이는 대응각의 속기입니다 그리고 각 2는 같은 이유로 각 4와 대응각입니다 따라서 각 2는 각 4와 합동입니다 이는 서로 대응각이기 때문이죠 이번 경우에는 다른 횡단선의 대응각이 있습니다 횡단선이 두 평행한 선을 지나죠 따라서 삼각형 AED와 ACB를 보면 이는 합동인 두 개의 대응각입니다 이는 합동인 두 개의 대응각입니다 따라서 두 쌍의 대응각이 있다면 모든 각이 합동입니다 그리고 여기를 보면 두 개로 충분하지만 세 개가 있습니다 해당 각도 BAC가 두 삼각형이 공유하는 각이기 때문이죠 따라서 삼각형 AED는 삼각형 ACB와 닮음입니다 ACB와 각도의 닮음에 의해 닮음이죠 두 삼각형이 닮음이라면 비율을 계산할 수 있습니다 선분 AE와 AC의 비율은 AD의 길이와 전체 선분 AB의 비와 같습니다 이 의미는 공간을 절약하기 위해 여기에 적겠습니다 이는 AE/AC는 AE/(AE + EC)와 같으며 따라서 나누기 AE 더하기 EC와 같죠 그리고 이 값은 AD의 길이에서 AB의 길이인 AD + DB를 나눈 것입니다 이제 해야할 것은 대수학을 이용하여 이 값을 구하는 것입니다 아래로 내려볼게요 이를 간단히 하는 방법은 교차 곱셈을 하는 것입니다 이는 양변을 분모로 곱하여 구하는 것입니다 이전 동영상에서 보았죠 이는 선분 AE의 길이에 (AD + DB)이며 이는 AD(AE + EC)와 같습니다 이는 AD(AE + EC)와 같습니다 이를 분배해 봅시다 AE · AD + AE · DB는 AE · AD + AE · DB는 AD · AE + AD · EC와 같습니다 AD · AE + AD · EC와 같습니다 여기서 간단히 할 방법이 있나요? AE · AD가 양변에 있네요 양변에서 AE · AD를 빼 봅시다 이제 이 두 값이 같다는 결과가 있네요 아래로 더 내리고 다시 깔끔히 적어볼게요 따라서 AE · DB는 AD · EC와 같습니다 이는 다 선분의 길이입니다 양변을 EC로 나누면 여기도 EC가 있죠 이는 상쇄됩니다 양변을 DB로 나누면 값이 상쇄되고 DB의 값이 나옵니다 대수학적으로 식을 정리하면 여기 있던 식에서 AE의 길이를 EC로 나눈 것 AE의 길이를 EC로 나눈 것 AE / EC는 AD의 길이를 DB로 나눈 것입니다 이를 증명하고 싶었죠 여기 이 선분이 이 선분과 평행하고 두 선분을 비례하여 나눕니다