중점 삼각형 탐구하기

여기 삼각형이 있고 이 삼각형을 ABC라 부르자 삼각형의 각각의 변의 중점을 보자 이것이 변 BC의 중점이고 이것을 점 D라고 부르고 저것은 점 E라 하자 그리고 이 중점은 F라 하고 이 중점에 대해 BD로 부터의 거리가 D와 C로 부터의 거리와 같다는 것을 안다 따라서 이 거리는 이 거리와 같다 AE는 EC와 같고 이 거리는 이 거리와 같으며 AF는 FB와 같고 이 거리는 이 거리와 같다 중점에서 꼭짓점까지의 중앙값을 그리는 대신에 내가 하고 싶은 것은 이 중점들을 연결시켜 무엇이 일어나는지 보는 것이다 이것들을 연결시키면 3개의 점이 있고 한 선 위에 있지 않은 3개의 점을 연결하면 또 다른 삼각형이 생길 것이다 그리고 큰 삼각형의 중점들에서 만들어진 이 삼각형은 내측삼각형이라고 한다 내측삼각형이 예쁘고 귀엽네 그러나 우리가 이 동영상에서 볼 것은 내측삼각형의 성질들이다 우리가 보여줄 것은 이것이 아무 삼각형이나 4개의 작은 삼각형으로 나눈다는 것이다 이것들은 모두 다른 것들과 합동이며 4개의 삼각형들은 다른 것들과도 동일하다 또 큰 삼각형과도 비슷하다 이 삼각형들은 큰 삼각형의 1/4의 넓이를 가지고 있다 이제 이걸 증명해보자 먼저 여기 밑에 있는 삼각형을 보자 삼각형 CDE이고 큰 삼각형과 비슷해 보인다 삼각형 CBA이다 먼저 증명해보자 우리가 한가지 알고 있는 것은 두 삼각형 다 이 각을 공통으로 가지고 있다는 것이다 두개의 삼각형 다 큰 삼각형 CBA와 공통으로 이 각이 있다 그리고 작은 삼각형 CDE가 이 각을 가지고 있으니 확실히 이 각은 공통이다 그리고 변들의 비율을 보면 CD의 비율이 CD 대 CB의 비율이 CD와 CB의 비율이 1/2와 같다는 것을 알 수 있다 이것은 이 전체의 변의 반이다 그리고 CE 대 CA의 비율과 같고 CE는 정확히 CA의 반이다 왜냐하면 E는 중점이고 CE/CA와 같기 떄문이다 여기 각이 있고 합동인 동위각도 있다 그리고 이 각의 일차하는 아무 변의 비율은 아니면 같은 CD나 CB를 1/2로 CE나 CA를 1/2로 한다 그러면 그 변들에 끼인각은 합동이다 SAS 합동조건으로 인하여 SAS 합동조건, 삼각형 CDE가 삼각형 CBA와 비슷하다는 것도 알고 그리고 이것만으로도 신기한 결과를 얻을수 있다 우리가 이 작은 삼각형의 변들의 비율을 알기 떄문에 큰 삼각형에게는 1/2이 될 것이다 왜냐하면 다른 두 변은 1/2의 비율이기 때문이다 우리가 이 비슷한 삼각형과 할 것은 먼저 이건 저것의 반이다 그리고 AB의 1/2은 FA의 길이이다 여기 있는 이 길이가 FA나 FB와 같다는 것을 안다 이건 비슷한 삼각형으로 부터 확신 할 수 있다 이것이 비슷하기에 DE/BA가 이 비율들과 같다는 것을 안다 1/2과 일치하는 다른 변들이다 이게 저것을 구한 것이다 이제 여기 위에 있는 삼각형에 대해 알아보자 여기 위에 있는 삼각형 삼각형 BDF이다 먼저 삼각형 BDF를 큰 삼각형과 비교 해 보면 둘다 여기 있는 이 각, 각 ABC를 공통으로 가지고 있다 둘다 이 각을 가지고 있고 이제 같은 논쟁을 할 것이다 이 다이어그램을 보면 BA의 비율이 이렇게 해보자 BF 대 BA의 비율이 1/2와 같다. 이것은 BD 대 BC의 비율과도 같다 이것과 저것의 비율은 저것과 이것의 비율, 1/2와 같다 왜냐하면 BD는 이 전체 길이의 반이기 때문이다 BF는 이 전체 길이의 반이다 일치하는 변들은 같은 비율을 가지고 있다 두개의 삼각형에는 이 사이의 각을 공통으로 가지고 있다 따라서 다시 한번 더 이것은 SAS 합동조건이다 SAS 합동 조건 이 삼각형 DBF가 삼각형 CBA와 비슷하단 것을 안다 삼각형 CBA와 비슷하다 또 다시 한번 우리는 똑같은 논쟁을 사용한다 여기 이 삼각형과 했듯이 모든 일치하는 변들과 비율이 같다면 같아야 하고 그 비율은 1/2이다 이 변과 저 변의 비율은 FD와 AC의 비율은 1/2이어야 하고 아니면 FD는 AC의 반이 되어야 한다 AC의 1/2은 AE의 길이이다 이건 저기의 길이가 될 것이고 이게 어디로 가는 지 보일것이다 또 비슷하기 때문에 동위각들은 모두 같아야 한다 그리고 이게 저것임을 알기에 저 큰 삼각형이 노란색 각을 가지고 있다 저기 있는 노란색 각 여기에 있는 이 삼각형도 큰 삼각형과 비슷하고 여기서도 각의 크기가 같을 것이다 이 첫 부분에서 세번째 삼각형으로 가보자 패턴을 찾을 수 있을 것이다 동영상을 멈추고 찾아보아라 그리고 스스로에게 설명해보아라 AF/AB의 비율은 AE/AC의 비율과 같다 AE/AC는 1/2과 같다 따라서 이제 큰 삼각형에서 작은 삼각형으로 부터 두 개의 일치하는 변과 1/2의 비율이 있다 그리고 그 삼각형들은 공통인 각을 가지고 있고 이 각을 두 변 사이에서 공통으로 가진다 몇번씩 반복되는 SAS 합동조건으로 삼각형 EFA가 삼각형 CBA와 비슷하다는 것을 안다 일치하는 변들의 비율은 1/2이고 FB 대 BC의 비율은 1/2이다 아니면 FE 는 BD의 길이의 반이다 이게 저기 있는 길이가 되고 다르게는 이렇게 말할수도 있다 이 삼각형과 저 삼각형이 아직 가운데 삼각형에 대해서는 이야기 해보지 않았고 큰 삼각형과 비슷하다 따라서 모든 삼각형은 서로서로 비슷할 것이다 또 같은 동위각도 가질 것이다 큰 삼각형이 이 노란색 각을 가지고 있다면 모든 삼각형들도 이 노란색 각을 가지고 큰 삼각형은 이 파란색 각을 가질 것이다 그러면 삼각형에서 일치하는 꼭짓점들은 파란색 각을 가질 것이다 우리가 보여준 것들은 다 비슷하고 아직 이 가운데 삼각형에 대해서는 생각해보지 않았는데 당연히 이것이 전체와 비슷하다면 여기 꼭짓점에 저 각을 가지게 될것이고 이것이 저 꼭짓점과 닮음에 따라 일치하기 때문이다 신기하네 이제 이것에 대해 알아보자 삼각형들을 비교해보고 이제 모든 삼각형들이 전부 3개의 변이 있고 즉, 이 파란색 변, 한개 표시된 변이라고 표시하고 이 두개 표시된 변과 세개 표시된 변이다 한개 표시 두개 표시 세개 표시 그리고 여기 가운데에 있는 삼각형에게도 따른다 따라서 SSS SSS합동조건으로 일치하는 변을 찾을 때 조심해야 하지만 삼각형 CDE가 삼각형 D, DBF와 합동이라는 것을 안다 일치하는 변을 보면 색깔을 보면 노랑, 자홍, 파랑이 있고 노랑서 자홍, 파랑은 삼각형 EFA와 합동일 것이다 여기 있는 이 삼각형과 합동일 것이고 우리가 올바른 일치하는 변을 가지고 있는지 확인 해보자 이것을 할때 한번 더 확인해보고 각에 대해서 생각해보면 이게 신기한건 아는데 삼각형의 내각들이 180도가 되기에 자홍색 각 더하기 파란색 각 더하기 노란색 각은 180도 가 된다는 것을 안다 여기 파란색 각과 자홍색 각이 있고 모두 합해서 180도가 확실히 되며 이 파란색 각을 가지고 있어야 되고 이 파란색 각이 여기에 있어야 하고 파란색 각을 I라 두고 노란색 각과 파란색 각 자홍색 각은 여기 있을 것이고 다 더하면 180도가 되며 이것이 자홍색 각이고 그리고 드디어 자홍색과 파란색 이것이 저기 있는 노란색 각이고 여기서 합동을 썼을때 CDE에서 시작했고 노랑 자홍 파랑 여기서도 노랑 자홍 파랑 그래서 이것이 삼각형 FED와 합동일 것이고 우리는 방금 이 세개의 삼각형 저 삼각형 이 삼각형 이 삼각형 그리고 저 삼각형이 합도이라는 것을 보여주었다 그리고 일치하는 것들도 볼수있다 모두 다 큰 삼각형과 상대적인 비율이 있고 큰 삼각형 ABC와 비슷하다 그리고 변 중간의 비율은 1:2이고 동위각도 살펴보았기에 예시로는 이 각이 저 각과 같다는 것이다 DC, BC를 횡단선으로 보았다면 모든 변들이 FD가 AC와 평행 할것이라는 것을 보여준다 동위각들이 합동이기 때문에 이것이 저것과 평행 할 것이고 그리고 이것을 같은 논쟁으로 사용할 수 있다 이 변이 왜냐하면 동위각 여기와 여기의 동위각이기 떄문이다 여기가 저쪽과 평행하다고 말할수 있고 마지막으로 여기 같은 논쟁으로 올바른 동위각들인지 잠시 확인 좀 해보고 여기 이 선과 저 선이 있다 그리고 이 각은 저 각의 동위각이고 둘은 서로 같다 그래서 DE는 BA와 평행일 것이다 그리고 저것은 내측삼각형의 또 다른 성질이다 난 삼각형으로 간단한 것을 할때 모든것이 그냥 나오는 줄 알았다