삼각형의 닮음 증명/조건

이쪽에 삼각형 ABC를 그려봅시다 그리고 또 다른 삼각형이 삼각형 ABC와 닮은 삼각형이 되기 위해 필요한 필수적인 조건들, 즉 닮음의 공리에 대해 배워봅시다 우리가 삼각형 ABC의 모든 내각을 안다고 가정했을 때 삼각형 ABC의 모든 내각과 동일한 대응각을 가진 삼각형이 있다면 그 삼각형은 삼각형 ABC와 닮은 삼각형이라고 합니다 예를 하나 들어볼게요 삼각형ABC에서 ∠A는 30도, ∠B는 90도 ∠C는 60도 라고 가정합시다 그리고 이쪽에 삼각형 ABC보다 작은 또 다른 삼각형 하나를 그려볼게요 이 작은 삼각형은 삼각형 ABC와 모든 대응각의 크기가 같아요 이쪽은 30도, 위쪽은 90도 여기는 60도입니다 이 삼각형을 삼각형 XYZ라고 한다면 삼각형 XYZ는 삼각형 ABC와 닮은 삼각형이에요 세 쌍의 동일한 대응각을 가진 두 개의 삼각형은 닮은 삼각형이기 때문에 삼각형 ABC와 삼각형 XYZ는 닮은 삼각형이 되고 기호로 △ABC ~ △XYZ로 표시합니다 주의할 점은 이를 표기 할때에는 삼각형 ABC와 같은 대응각을 가진 순서대로 적어야합니다 ∠X와 ∠A는 똑같이 30도 이기 때문에 △ABC에서 맨 앞에 A가 있다면 X도 △XYZ의 제일 앞에 적습니다 마찬가지로 B와 Y는 중간에 C와 Z는 마지막에 적는 것이에요 그런데 삼각형의 닮음을 증명하려면 두 각만 알아도 충분하지 않을까요? 그렇습니다 삼각형의 두 각을 알고 있으면 나머지 한 각을 구할 수 있기 때문입니다 예를 들어봅시다 여기 또 다른 삼각형을 그리겠습니다 그리고 이 삼각형은 삼각형 ABC와 오직 두 쌍의 대응각만이 일치합니다 이쪽의 각은 ∠A와 동일한 30도이고 그리고 이 위쪽은 ∠B와 동일합니다 그럼 이 두 개의 삼각형은 닮은 삼각형일까요? 네, 맞습니다 삼각형의 모든 내각의 합은 180도이기 때문에 우리는 두 개의 각을 알고 있으면 나머지 하나의 각도 구할 수 있습니다 이쪽이 30도이고 위쪽이 90도라면 나머지 한 각은 60도가 됩니다 두 각이 어떤 값이든 180도에서 두 각을 빼면 나머지 각을 구할 수 있기 때문이에요 그렇기 때문에 우리가 보통 닮음을 증명할 때에는 세 쌍의 대응각이 모두 일치한다는 것을 밝힐 필요가 없습니다 두 쌍의 대응각의 크기가 같은 것만으로도 충분합니다 이것이 삼각형의 첫 번째 닮음 조건이고 AA 닮음이라고 합니다 ( A= Angle(각도)) 다시 말해서, 두 개의 삼각형이 닮으려면 두 쌍의 대응각의 크기가 일치하면 됩니다 이해하기 쉽게 예를 하나 들어볼까요? 이쪽은 30도이고 위쪽은 90도라고 합시다 자 그렇다면 이 삼각형은 삼각형 ABC와 AA 닮음 이라고 할 수 있습니다 그리고 더욱 정확한 것을 원한다면 나머지 한 각을 구해보면 됩니다 180도에서 두각을 빼면 60도이기 때문에 두 삼각형은 세 쌍의 대응각이 일치합니다 자 이제 닮음의 두 번째 조건에 대해 알아봅시다 세 쌍의 대응변의 길이의 비율이 같다면 두 삼각형은 닮음입니다 예를 들어볼까요? 이쪽에 또 다른 삼각형을 하나 그려보겠습니다 이 것을 삼각형XYZ라고 합시다 그리고 AB의 길이와 XY의 길이의 비를 알고 있다고 가정합시다 AB를 XY로 나누면 AB와 XY의 길이의 비율을 구할 수 있습니다 두 개의 길이가 아니라 길이의 비율을 말하는 것입니다 AB/XY가 BC/YZ와 같고 AC/XZ와 일치합니다 만약 두 개의 삼각형이 있을 때 세쌍의 대응변의 길이의 각 비율이 일치한다면 두 삼각형은 닮은 삼각형입니다 이것을 삼각형의 SSS 닮음이라고 합니다 ( S = Side, 삼각형의 변) 삼각형의 SSS 합동과 헷갈리지 마세요 오늘 우리가 배우고 있는 삼각형의 닮음은 공리 또는 공준으로 불리며 기하학 분야에서 여러 다른 문제들을 풀거나 증명할 때 적용할 수 있는 증명없이도 사실로 받아지는 명제입니다 삼각형의 SSS합동은 세 대응변의 길이가 같은 것을 의미하지만 지금 배우고 있는 삼각형의 SSS 닮음은 세 대응변의 길이의 비율이 같은 것을 의미합니다 예를들어 삼각형ABC에서 AC의 길이가 60이고, BC의 길이는 30 AB의 길이는 30√3 일 때 삼각형의 내각이 30도, 60도, 90도 일 때 왜 삼각형 변의 길이의 비가 이렇게 되는지는 머지않아 배우게 될 것입니다 그리고 AZ의 길이를 6, YZ는3 XY의 길이를 30루트3이라고 합시다 자, 이제 계산해봅시다 AB/XY는 30√3 나누기 3√3이므로 10입니다 그렇다면 BC/XY는요? 30나누기 3이므로 역시 10입니다 마지막으로 AC/XZ도 AC를 XY로 나누면 60나누기 6이므로 10이됩니다 따라서 삼각형 ABC의 든 변의 길이는 삼각형XYZ의 모든 대응변의 길이의 10배입니다 그러므로 이 두개의 삼각형은 합동인 삼각형은 아니지만 SSS 닮음에 의해 닮은 삼각형이 되는 것입니다 SSS 닮음은 삼각형의 세 변을 일정한 비율로 늘이거나 줄였다는 것을 의미합니다 바꿔말하면 대응하는 변의 길이의 비율이 모두 같다는 것이죠 자 그렇다면 이쪽에 삼각형 하나를 더 그려보겠습니다 전에 그림은 그대로 두고 옆에 새로운 삼각형을 다시 그려보겠습니다 이것은 또 다른 삼각형 ABC입니다 그리고 삼각형AB와 닮은 또 다른 삼각형을 이쪽에 하나 그려볼텐데요 우선 변XY를 그렸습니다 XY의 길이는 AB에 어떤 상수 K를 곱한 길이 입니다 수식으로 표현해보면 XY = KAB 입니다 제가 XY를 너무 작게 그렸네요 사실 XY의 길이가 작아도 닮은 삼각형이 되지만요 여러분들이 좀 더 이해하기 쉽게 XY를 AB보다 더 길게 그리겠습니다 자, XY를 더 길게 그렸습니다 XY를 AB로 나누면 상수 K입니다 XY/AB = K AB에 K를 곱한만큼의 길이인 XY길이를 얻게 되는 것입니다 만약 AB의 길이가 5이고 XY가 10이라면 K값은 2가 될 것입니다 K값이 2라는것은 두배로 길다는 의미입니다 그리고 한 가지 조건을 더 추가해서 ∠ABC와 ∠XYZ의 값이 같다고 해봅시다 이쪽에 변 YZ를 그려야겠군요 아까 전에 ∠ABC와 ∠XYZ의 값이 같다고 했죠? 그리고 우리는 변의 길이의 비 역시 알고 있습니다 BC/YZ 역시 K가 됩니다 BC를 YZ로 나눈 값 역시 K 가 되는 것입니다 예를들어 AB는 5, XY가10이라면 BC가3일 때, YZ의 길이는 6이 됩니다 K 값이 2가되고 삼각형 XYZ는 삼각형 ABC보다 두 배가 큽니다 그러면 삼각형 XYZ는 삼각형 ABC와 닮은 삼각형입니다 다시 말해서 우리가 만약 XY의 길이가 AB의 길이의 몇배인지 알고 있고 YZ역시 BC에 같은 비율만큼 곱한 길이이며 두 변 사이에 끼인각 즉, 대응각이 일치한다면 위 조건에 부합하는 오직 하나의 닮은 삼각형을 구할 수 있습니다 마지막 변을 그려서 삼각형을 완성시키고 변XZ의 길이에 대해 생각해봅시다 이 변의 길이는 얼마가 될까요? 다른 변의 길이와 마찬가지로 이 변 역시 AC의 K배 만큼 깁니다 우리는 이것을 SAS 닮음이라고 불러요 SSS 합동, SAS 합동과 SSS 닮음, SAS 닮음을 잘 구별해야합니다 방금 전에 배웠던 SAS 닮음의 경우 두 개의 대응변의 길이의 비율이 같고 그 두 변 사이에 끼인각의 크기가 같은 것을 의미합니다 AB와 XY가 대응하고 있는 변이고 또 다른 대응변으로는 BC와 YZ가 대응하고 있습니다 그리고 각각 두 대응변의 끼인각이 같습니다 그러므로 두 삼각형이 닮은 것입니다 삼각형의 SAS 합동은 두 변의 길이가 똑같은 경우 입니다 두 개의 대응하는 변 사이에 끼인각은 SAS 닮음과 SAS 합동의 경우 모두 똑같아야 합니다 SAS 닮음과 SAS 합동을 구분하기 위한 예를 들어보겠습니다 이쪽에 삼각형을 하나 그리겠습니다 이 삼각형의 변의 길이는 각각 3, 2, 4입니다 또 다른 삼각형을 하나 더 그리겠습니다 이 삼각형 중 두 변의 길이는 각각 9와 6입니다 그리고 각각 두 변 사이에 끼인각이 같다고 가정합시다 이곳과 저곳의 각도가 같다는 말입니다 SAS 닮음조건을 적용해보면 이 두 개의 삼각형은 닮은 삼각형이 될 것입니다 왜냐하면 아래 삼각형의 모든 변의 길이는 위 삼각형의 모든 변의 길이보다 똑같은 비율로 늘었기 때문입니다 이쪽에 가장 긴 변을 그려보면 다른 변과 마찬가지로 3배가 늘어날 것입니다 아래 그린 이 새로운 삼각형의 변의 길이는 본래의 삼각형의 변의 길이의 3배 길고 두 변 사이에 끼인각은 똑같습니다 이것은 우리가 적용한 조건에서 그릴 수 있는 유일한 삼각형입니다 모든 삼각형의 길이가 정확히 3배로 늘어난 닮은 삼각형을 그린 것입니다 지금까지 SAS 닮음에 대해 배웠습니다 두 개의 닮은 삼각형은 두 대응변의 길이가 똑같지 않습니다 두 대응변의 길이가 같은 비율로 커지거나 작아진 삼각형을 말하는 것입니다 또 다른 삼각형으로 예를 들어볼게요 이 삼각형의 변의 길이는 각각 9와 4입니다 그리고 아까의 경우와 마찬가지로 두변 사이에 끼인각이 같습니다 그렇지만 이 삼각형은 앞의 두 개의 삼각형과 닮았다고 할 수 없습니다 왼쪽 변은 3배 늘어났지만 오른쪽 변은 2배가 늘어났기 때문입니다 그래서 이 새로운 삼각형은 삼각형의 닮음 조건에 부합하지 않습니다 이런 경우는 어떨까요? 어떤 삼각형의 변의 길이가 9와 6이라는 것을 알고 있지만 그 사이에 끼인각이 일치하는지 모른다면 다시말해서 SAS 닮음 중에 하나라도 알지 못한다면 우리는 두 개의 삼각형이 닮았는지 아닌지 알 수 없습니다 왜냐하면 끼인각이 몇 도이냐에 따라 달라지기 때문이죠 자 이제 우리가 배운 것 외에 다른 닮음 조건들에 대해서도 생각해볼까요? AAS 닮음은 어떨까요? 잘 생각해보면 AA 닮음으로도 두 개의 삼각형이 닮았음을 충분히 판별할 수 있습니다 따라서 두개의 대응각이 일치한다면 대응변의 길이나 비율은 고려할 필요가 없습니다 그렇다면 ASA 닮음은 어떨까요? AAS닮음과 마찬가지로 이미 두 대응각이 일치하기 때문에 대응변에 대해서는 고려할 필요가 없습니다 따라서 지금 배운 AA, SSS, SAS가 삼각형의 닮음 공준이 되는 것입니다 한번 더 강조해서 설명하면 삼각형의 SSS 합동과 SSS 닮음은 다른 것입니다 삼각형의 닮음에서는 대응변의 길이가 정확하게 똑같아야 하는것이 아니라 대응변의 길이의 비가 일치해야 합니다 마찬가지로 SAS 닮음 역시 SAS 합동과는 다릅니다 SAS 닮음은 대응변의 길이의 비율이 같은 것이지 대응변의 길이가 같다는 것을 의미하지 않습니다