닮은꼴 삼각형 구분하기

이번 영상에서는 닮은꼴 삼각형을 찾아보고 전에 배운 공준을 이용해 닮은 꼴이라는 걸 증명할 겁니다 삼각형 BDC는 삼각형 AEC 안에 있습니다 두 삼각형 모두 이 각을 공유합니다 한 공통인 각을 가지고 있는거죠 AA닮음이 되기 위해서는 두 개의 공통인 각이 필요합니다 여기 두 직선은 평행합니다 평행하는 두 직선과 횡단선이 만나서 생기는 두 각은 서로 동위각입니다 그래서 이 각과 저각은 대응합니다 다했습니다 삼각형 AEC에 있는 한 각이 삼각형 BDC에 있는 다른 각과 합동이고 그리고 이 각은 명백하게 두 삼각형 모두에 합동입니다 이 두 삼각형에 두 개의 대응하는 각이 있기 때문에 두 삼각형은 서로 닮은꼴입니다 그래서 삼각형 ACE는 닮은꼴 삼각형인데 닮음을 나타낼 때에는 순서에 알맞게 글자를 써야 합니다 이 파란 각 a와 대응하는 저 파란 각은 b이고요 공통되는 하얀 각 C 마지막으로는 표시가 안 되어있는 각까지 B, C, D 첫 번째가 끝났으니 다음 걸로 넘어가 보죠 첫 번째 삼각형과 비슷해 보이지만 직선 YZ와 ST가 서로 평행하지 않다는 것이 한눈에 들어오네요 이번에는 동위각을 이용하지 못합니다 평행하다는 표시조차도 되어있지 않습니다 도형을 보이는 데로 보는 것이 아니라 주어진 조건을 잘 살펴보아야 합니다 여기에 평행표시가 되어있지 않으면 평행처럼 보인다해도 평행이라 여기면 안됩니다 한 가지 알 수 있는 건 지금 이 각이 안쪽 삼각형과 바깥쪽 삼각형 모두 가지고 있는 공통인 각이라는 거죠 그리고 변이 많이 주어졌습니다 아마 SAS 닮음을 이용할 수도 있겠습니다 이 말은 즉슨 이 각을 끼는 두 변의 길이의 비가 작은 삼각형과 큰 삼각형 모두 같다 한다면 닮음을 증명할 수 있습니다 이 각을 끼는 아무 두변을 가지고 증명해야 하죠 좀 더 짧은 변을 먼저 비교해 봅시다 이 짧은 변은 2입니다 이제 큰 삼각형의 짧은 변을 봅시다 이번에는 짧은 변이 오른쪽에 있습니다 그 변은 XT 입니다 그래서 비교해야 하는 변의 길이의 비는 XT분의 XY가 긴 변의 길이의 비율과 같다는 걸 증명해야 하죠 이 각에 비례하는 긴 변이지 두 삼각형의 제일 긴 변이 아닙니다 그렇게 보일 수도 있겠지만 말입니다 이것은 XZ 나누기 긴 변 이 각을 끼는 두 측 중에 큰 삼각형에서 비교했을때 긴 변은 XS입니다 그래서 나누기 XS를 합니다 삼각형을 자꾸 뒤집어서 조금 헷갈릴 수도 있는데 위치에 상관없이 더 짧은 변과 더 긴 변을 보고 있었습니다 이 두변은 작은 삼각형과 큰 삼각형의 더 짧은 변이고 이 두변은 작은 삼각형과 큰 삼각형의 더 긴 변입니다 그래서 XY는 2입니다 XT는 3 더하기 1로 4이고 XZ는 3이고 XS는 6입니다 그래서 4분의 2는 1/2로 6분의 3과 같습니다 작은 삼각형과 큰 삼각형의 짧은 변과 긴 변의 길이의 비율은 같습니다 그래서 SAS 닮음으로 두 삼각형이 합동임을 압니다 삼각형을 나타낼 때에 조심하셔야 하는 게 대응하는 변끼리 나타내야 합니다 그러니까 삼각형은 자리가 모자라네요 이 위에다가 쓰겠습니다 삼각형 XYZ는 닮은꼴이죠 그러니까 꼭짓점인 X에서부터 시작할게요 짧은 변을 먼저 썼으니까 그래서 X부터 시작해서 큰 삼각형의 짧은 변으로 갑니다 결론적으로는 XTS인거죠 삼각형 XYZ는 삼각형 XTS의 닮은꼴인거죠 자 이번에는 이 삼각형을 봅시다 큰 삼각형에 직각이 있습니다 하지만, 우리는 정말 아무것도 모르는게 이 두 작은 삼각형의 각의 크기을 모르니까 말이죠 이 각이 직각으로 보인다 한들 그렇다고 확신할 수 없죠 그리고 이 작은 삼각형을 보면 한 변을 큰 삼각형과 공유하고 있습니다 하지만 그것이 알려주는 것은 없죠 이 삼각형은 다른 변을 공유하지만 하지만 이것도 알려주는 것이 없죠 그래서 닮음에 대해 당장 얘기할 수가 없네요 결론적으로 이 삼각형에는 닮은꼴이 없네요 만약에 문제에서 정보를 더 준다면 공통인 각은 있습니다 저 각을 공유합니다 작은 삼각형과 큰 삼각형 모두 말이죠 닮음에 대해서 잘하면 얘기할 수도 있었겠습니다 이 각이 직각이라는 것만 알았다면 말이죠 그랬다면 닮음에 대해 얘기할 수 있었는데 지금 당장은 할 수 있는게 없네요 이 두 쌍의 삼각형에 대해 얘기해 봅시다 두 다른 삼각형을 비교하는 건 처음이네요 이 두 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌네요 그럼 대응하는 변의 길이의 비를 구해 일정한지 봅시다 그럼 짧은 변부터 시작해 봅시다 이 삼각형의 짧은 변의 길이는 3입니다 이 삼각형의 짧은 변의 길이는 9√3입니다 이 짧은 두 변의 길이의 비율이 과연 다음으로 긴 변의 길이의 비율과 같은지 봅시다 이 삼각형에서 두 번째로 긴 변의 길이 3√3 나누기 이 삼각형에서 두 번째로 긴 변의 길이 27 그 다음으로는 이 길이의 비율이 제일 긴 변의 길이의 비율과 같은지 봅시다 여기서 제일 긴 변의 길이는 6이고 여기서는 제일 긴 변의 길이는 18√3입니다 그래서 이 비는 3 나누기 무채색으로 바꿀게요 1 나누기 3√3이 됩니다 이건 1√3 나누기 9가 되고요 두 다른 숫자같지만 조심하셔야 합니다 이 비율역시 6으로 약분을 해주면 이건 1이 되고 이건 3√3이 됩니다 1/(3√3)는 √3/9과 같아야 하고 또 1/3√3이랑도 같아야 합니다 같은 숫자로 안 보이기는 한데 분모를 유리화 시켜봅시다 1/3√3에 √3/√3를 곱하게 되면 분자 √3 나누기 √3곱하기√3은 3이니까 3 곱하기 3은 9입니다 결론적으로 이 셋 모두 같습니다 1/3√3는 √3/9과 같습니다 이 1/3√3과도 같습니다 그래서 이 두 삼각형은 닮은꼴입니다 순서에 맞게 나타내 볼게요 파란색 변과 분홍색 변 사이의 각 E부터 시작합시다 여기는 각 H가 파란색 변과 분홍색 변 사이에 있네요 그러니까 삼각형 E 쉽게 이렇게 할께요 E부터 시작해서 파란색 변을 따라 F 이제 이 삼각형의 파란색 변을 따르면 죄송합니다 다시 해볼게요 그냥 이렇게 합시다 삼각형 EFG는 닮은 꼴입니다 그러니까 E는 파란색 변과 분홍색 변의 사이에 있습니다 여기서는 H입니다 그 다음으로 파란색 변을 따라가면 F 이고 이 삼각형에서 따라가면 I 입니다 그 다음은 주황색 변을 따라가서 G 이고 이 삼각형에서 따라가면 J 입니다 따라서 삼각형 EFJ는 삼각형 HIJ와 닮음인 관계입니다 SSS 닮음으로 말입니다 합동인 변은 아닙니다 변들의 비가 같은거죠 이제 마지막 문제를 해 봅시다 두 삼각형은 합동인 각이 있습니다 그리고 두 변이 있습니다 그래서 SAS 닮음이라고 말하고 싶을 것같은데 왜냐하면 지금 변-각-변이 있으니까요 심지어 닮은비를 가지고 있네요 4x2는 8이고 5x2는 10이니까요 조심해야 하는 건 두변이 대응하지 않다는 거죠 SAS 닮음이 될려면 두 변이 같은 대응하는 비를 나타내야하고 이 각을 끼고 있어야합니다 이 삼각형을 보면 두 변이 각을 끼고 있고 이 삼각형은 4는 각을 끼고 있지만 5는 아닙니다 5가 여기에 있었더라면 그럼 닮음인 관계라고 얘기해볼 수 있을 것 같은데 5가 저 변에 없는 이상 각을 4와 같이 끼고 있지 않기에 SAS 닮음이라고 말할 수 없습니다 따라서 이 삼각형에서는 우리가 할 수 있는게 없네요 마지막 삼각형에 대해서는 닮음에 대해서 말할게 없습니다