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고등학교 기하학

코스: 고등학교 기하학 > 단원 4

단원 2: 삼각형의 닮음에 대하여

각-각 삼각형 닮음 조건

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확대 및 축소와 강체변환을 사용해 왜 적어도 대응하는 두 쌍의 합동인 각을 가지는 두 삼각형이 닮음이어야만 하는지 알아봅시다.

닮음인 삼각형이 의미하는 것은 무엇인가요?

정의 1

최근

기하학에서 닮음이란 무엇인가요?

(A 선택)
두 도형에서 대응되는 각들의 크기가 모두 같다면, 두 도형은 닮음입니다.
(B 선택)
두 도형에서 대응되는 모든 변들의 길이가 같은 비율을 가지고 있다면, 두 도형은 닮음입니다.
(C 선택)
강체 변환을 사용하여 하나의 도형을 다른 하나의 도형으로 이동시킬 수 있다면 도형은 닮음입니다.
(D 선택)
강체 변환과 확대, 축소를 사용하여 하나의 도형을 다른 하나의 도형으로 이동시킬 수 있다면 도형은 닮음입니다.

삼각형이 닮음인 것을 증명하기

두 삼각형의 길이/각의 크기를 몇가지 밖에 모른다면, 평행이동, 회전이동, 대칭이동을 하여 두 삼각형이 합동인 것을 보일 수 있었습니다. 두 삼각형이 닮음인 것을 보이기 위해서는 어떤 정보들이 필요할까요?

두 쌍의 각과 두 쌍의 변?

triangle, A, prime, B, prime, C, prime와 triangle, D, E, F가 합동인 것을 어떻게 증명할 수 있을까요?

어떤 변환이 triangle, A, prime, B, prime, C, prime를 triangle, D, E, F로 이동시키나요?

triangle, A, prime, B, prime, C, prime는 triangle, D, E, F와 합동입니다. 따라서

만을 사용하여 triangle, A, prime, B, prime, C, prime를 triangle, D, E, F로 이동시킬 수 있습니다

triangle, A, B, C와 triangle, D, E, F가 닮음인 것을 보이기 위해 필요한 도형의 변환을 나열해 보세요.

triangle, D, E, F는 triangle, A, B, C의 상입니다. 변환은 다음과 같습니다:

점 P에서
의 비율로 확대한 것입니다.
선분
를 따라 평행이동합니다.
점
에 대해 m, angle, C, start superscript, prime, prime, end superscript, E, F만큼 회전이동합니다.
직선
에 대해 대칭이동합니다.

[A'C'=FD를 어떻게 확신할 수 있을까요?]

최소한 얼마나 필요한가요?

위의 변환에 근거하여, 두 삼각형의 2쌍의 각의 크기가 같고, 2쌍의 대응되는 변의 길이의 비율이 같다면, 두 삼각형은 닮음인 것을 확신할 수 있습니다. 이보다 정보가 적게 주어져 있을 때, 닮음임을 보일 수 있나요? 닮음임을 확신하기 위해 필요한 최소한의 정보는 무엇인가요?

두 쌍의 각과 한 쌍의 변?

최근

triangle, G, H, I와 triangle, J, K, L이 닮음인 것을 보이세요.

triangle, G, prime, H, prime, I, prime는 triangle, G, H, I를 비율
로 확대한 것입니다.
강체 변환을 사용하여 triangle, G, prime, H, prime, I, prime를 triangle, J, K, L 이동시킬 수 있습니다. 이는 triangle, G, prime, H, prime, I, prime, \cong, triangle, J, K, L(
합동)이기 때문입니다.
강체 변환과 확대를 여러 번 사용하면 triangle, G, H, I을 triangle, J, K, L로 이동시킬 수 있습니다. 따라서 triangle, G, H, I, \sim, triangle, J, K, L입니다.

각이 두 쌍 뿐이라면?

최근

triangle, M, N, O와 triangle, P, Q, R이 닮음인 것을 보이세요.

	주장	이유
1	angle, M, \cong, angle, P, angle, N, \cong, angle, Q	주어짐
2	triangle, M, N, O는 비율 로 확대합니다.
3	angle, M, prime, \cong, angle, M, angle, N, prime, \cong, angle, N	확대는 각의 크기에 변화를 주지 않습니다.
4	angle, M, prime, \cong, angle, P and angle, N, prime, \cong, angle, Q	합동의 평행이동 성질
5	M, prime, N, prime, equals	확대의 정의입니다.
6	triangle, M, prime, N, prime, O, prime, \cong, triangle, P, Q, R	ASA 합동
7	triangle, M, prime, N, prime, O, prime를 triangle, P, Q, R로 이동시키는 강체 변환과 확대가 있습니다.	의 정의
8	triangle, M, N, O, \sim, triangle, P, Q, R	triangle, M, N, O를 triangle, P, Q, R로 이동시키는 강체 변환과 확대가 있습니다.

네! 두 쌍의 대응되는 각들의 크기가 같다는 조건만 알아도 두 삼각형이 닮음인 것을 보일 수 있습니다.

깊이 있게 탐구하기

깊이 있는 탐구를 돕기 위한 질문들은 다음과 같습니다. 댓글을 통해 여러분들의 생각을 남겨주세요.

ASA합동이 아닌 AAS 합동을 사용하여 AA 닮음을 증명해본다면 어떨까요?
SSS 닮음과 SSS 합동은 어떻게 다른가요?
사각형에서 각만을 사용하여 닮음을 보일 수 있나요?

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