닮음 & 합동 삼각형 이용하기

여기 이문제에서 우리는 삼각형 ACE가 이등변삼각형임을 언급했습니다. 여기 이 큰 삼각형 말이죠. 이것은 이등변삼각형이고, 이것은 두개의 동일한 변을 가지고 있음을 의미하죠. 또한 우리는 이등변삼각형이 같은 밑각을 가져야 한다는 것도 알고 있습니다. 따라서 이 두 밑각은 같을 것이고요. 여기 이 변은 옆에 이 변과 길이가 같을 겁니다. 우리는 변 AC가 변CE와 같을 것이라고 할 수 있습니다. 그리고 이 모든 것은 위에 있는 첫번째 줄에서 얻어낸 것입니다. 우리는 또한 더 많은 힌트나 정보를 얻을 수 있는데요, CG의 길이가 24와 동일하다고 하는군요. 따라서 이 CG의 길이는 24가 됩니다. 변 BH가 변DF와 같다고 했으므로, 이 둘은 같은 길이가 되겠군요. 다음으로 변GF가 12라고 했으므로 여기 변GF에서 길이가 12가 되겠죠. 마지막으로 여기 있는 변FE의 길이가 6이라고 하네요. 마지막으로 도형 CBHFD의 넓이를 묻습니다, 여기 CBHFD가 있네요. 넓이를 구하라고 합니다. 이 쪽 부분의 넓이 말이죠. 여기 이 부분과 이부분이 도형 CBHFD입니다. 이 문제를 어떻게 해결할지 생각해보죠. 더 큰 삼각형의 넓이를 알아낸 다음, 이 작은 조각들의 넓이를 마지막에 뺌으로써 중간부분의 넓이를 알아낼 수 있겠군요. 제가 색칠한 부분 말이죠. 하지만 아직 문제를 해결하기 위해 필요한 정보들이 없네요. 우리는 이 삼각형의 높이를 알지 못합니다. 밑변의 길이도 알지 못하고요. 만약 밑변의 길이를 알 수 있다면 우리는 이렇게 말하겠죠. 밑변의 1/2에 높이를 곱하면 이 삼각형의 넓이를 알 수 있다고 말이죠. 또 우리는 이 부분도 빼야하는데 여기에서도 충분한 정보를 가지고 있지 않습니다. 높이를 모르니까요. 만약 높이를 알게 되면 이 높이도 알게 되겠죠, 하지만 우리는 이 변의 길이도 아직 모릅니다. 천천히 한번 해볼까요. 첫번째로 할 일은, 여러분이 추측하셨을지도 모르겠네요, 닮음에 대해서 많이 다루어왔기 때문이죠. 여기서 역시 닮음을 언급해야겠네요. 왜냐하면 여기에 많은 닮은꼴 삼각형이 있기 때문이죠. 예를 들어, 삼각형 CGE는 삼각형 DFE와 이 각을 공유하고, 여기 이 주황색 각 말이죠. 또 그들은 여기 이 직각을 공유합니다. 두 각을 공유하기 때문에 angle-angle닮음에 의해 두 삼각형은 닮음이고, 동일한 세번째 각을 가져야 하겠네요. 이 두 선분이 평행이니 말이죠. 따라서 우리는 삼각형CGE가 삼각형 DFE와 닮음이라고 말할 수 있습니다. 우리는 angle-angle닮음에 의해서 동일한 한 세트의 각이 있다는 것을 알고 있습니다. 그리고 이 각은 두 삼각형 모두에 속하기 때문에 이것은 상응하는 동일한 각입니다. 이 두 삼각형이 닮음이라는 것을 알았으니 변 사이의 비를 결정할 수 있겠군요. 왜냐하면 몇몇 변들에 관한 정보를 가지고 있기 때문이죠. 우리는 변 DF와 대응변인 이 변, 즉 변DF와 길이가 24인 변CG의 비가 동일한 비라는 것을 알 수 있습니다,길이가 6인 변 FE와 12가 아니라 12더하기 6인 18이 길이인 변GE사이의 비와 말이죠. 18분의 6은 3분의 1로 고쳐쓸 수 있고, 3곱하기 DF는 24라는 사실을 알게 되죠. 저는 그냥 대각선으로 곱했는데요, 양변에 24를 곱하고 다시 3을 곱해도 됩니다. 단순히 양변에 24를 곱해도 24곱하기 3분의 1이 나오지만 그냥 이렇게 하겠습니다. 양변을 3으로 나누면 DF가 8이 나옵니다. 따라서 여기 있는 변 DF의 길이가 8이라는 사실을 알아냈습니다. 이것은 우리에게 매우 유익하죠. 왜냐하면 여기 있는 이 길이가 또한 8임을 알기 때문입니다. 이제 무엇을 할까요? 우리가 여기에서 또다른 닮음을 사용할 수 있을 것 같군요. 왜냐하면 여기 이 각은 저기에 있는 각과 동일하기 때문이죠. 이 각은 90도가 되고 여기 이 90도 각은 그 자체로도 두 개의 닮은 삼각형이 있다고 해도 충분합니다. 그들이 여기 동일한 변을 가지고 있다고 말할 필요도 없습니다. 여기 우리가 다루고 있는 것, 즉 이것들이 합동인 두 삼각형임을 보여주기만 하면 됩니다. 여기 두 각이 있는데, 사실 합동에 대해 말할 때는 바로 닮음이라고 말해도 됩니다. 한 각과 동일한 각이 있고, 또다른 각이 다른 각과 동일하고, 한 변이 다른 한 변과 동일하면 합동인 두 삼각형이라고 말하는 것이죠. 여기에 분홍색으로 써보면, 삼각형AHB는, 대응되는 꼭짓점에 맞게 써보면, 삼각형 EFD와 닮음임을 알 수 있습니다. 왜냐하면 두 각이 같고 한 변이 같으면 합동이라고 말하기 때문이죠. 만약 두 삼각형이 합동이라면 매우 편리해지죠. 이 변이 8이라면 이 변 역시 8임을 의미하죠. 이를 통해 우리는 합동임을 발견했고요, 또 만약 이 변의 길이가 6이라면 대응하는 삼각형의 변 역시 길이가 6이 됨을 의미합니다. 따라서 이 변 역시 길이가 6이라고 써줄 수 있습니다. 저와 여러분은 이 모든 것이 어떻게 될 것인지 알 수 있습니다. 하지만 그것을 증명하고 싶어하죠. 넓이에 대해 확실하게 알고싶어 합니다. 우리는 "이것이 저것과 같을지도 몰라"라고 말하고 싶어하지 않습니다. 스스로 증명해봅시다. 그럼 어떻게 증명할 것인가, 우리는 이미 이 삼각형의 밑변을 알아냈습니다. 하지만 변 HG의 길이는 아직 모르는 상태죠. 여기에서 우리는 닮음을 다시 사용할 수 있습니다. 왜냐하면 보시다시피 삼각형ABH가 삼각형ACG와 닮음이기 때문입니다. 둘 다 이 각을 공통으로 가지고 있고 직각을 가지고 있네요. 삼각형 ABH는 이곳에, ACG는 저기에 직각을 가지고 있습니다. 이 두 각은, 두 대응각은 서로 같다는 것을 알아냈습니다. 따라서 두 개의 삼각형은 닮음이죠. 우리는 삼각형ABH, 그냥 AHB로 쓰기로 하죠. 앞에서 그렇게 썼으니까요. 삼각형AHB는 삼각형AGC와 닮음입니다. 대응각을 정확한 자리에 써 넣도록 하세요. 각A는 주황색, 각G는 직각, 각C는 아무것도 표시하지 않은 각입니다. 이것은 닮은 삼각형인 AGC입니다. 이것을 통해 우리는 변HG가 어떤 변과 동일한지를 알아내기 위해 이 비를 쓸 수 있고, 여기에서 우리는 24분의 8이 더 큰 삼각형에서 대응하는 변 분의 BH라고 말할 수 있습니다. 따라서 24분의 8은 변HG가 아니라 변AG분의 6이죠. 무엇을 찾고자 하는지 아시겠죠. 3분의 1이 AG 분의 6이고, 또는 대각선으로 곱해서 AG가 18이라고 할 수도 있습니다. 따라서 전체 길이가 18이 되고, 만약 변AG가 18이라면 변AH는 6이므로 변HG는 12가 되겠죠. 이것이 여러분들이 만약 이곳의 답을 추측하려 했을때 얻을 수 있는 값이기는 합니다. 하지만 우리는 이 밑변의 길이가 18임을 증명했습니다. 여기 18이 있고, 여기 또다른 18이 있어서 36이 되므로, 전체 밑변의 길이는 36입니다. 따라서 이제 우리는 전체 이등변 삼각형의 넓이를 알 수 있습니다. 삼각형ACE의 넓이는 1/2곱하기 밑변의 길이인 36 곱하기 24가 되겠죠. 또한 1/2곱하기 36은 18과 같으므로 18곱하기 24는, 여기 위에다 하겠습니다. 8곱하기 4는 32, 1곱하기 4는 4, 더하기 3은 7이되고, 여기에 0을 붙이면 왜냐하면 2가 아닌 20을 다루고 있기 때문이죠. 2곱하기 8이 16이고, 2곱하기 1이 2, 더하기 1하면 360이네요. 2가 내려오고, 7더하기 6은 13, 1더하기 3은 4가 되서 삼각형ACE의 넓이는 432가 나오지만 이게 다가 아닙니다. 우리가 구해야 할 이 부분은 전체 삼각형에서 이 부분을 빼고, 또 이부분을 뺀 영역입니다. 그럼 각각의 이 쐐기 모양의 넓이는 어떻게 될까요? 1/2곱하기 8곱하기 6, 즉 1/2곱하기 8은 4가 되고, 여기에 6을 곱하면 이 부분은 24가 되고, 이 부분 역시 24가 되겠죠. 따라서 구하고자 하는 넓이는 432에서 24를 두번 뺀 것, 또는 48을 뺀 것이죠. 암산을 해보자면 32를 빼면 400이 되고, 또다른 16을 빼야합니다. 400에서 10을 빼면 390이 되고 다시 6을 빼면 384가 됩니다. 단위가 미터였다면, 넓이는 제곱미터가 될 것이고, 단위가 센티미터이면 넓이는 제곱 센티미터가 될 것입니다. 제가 맞게 계산했나요? 다른 방법으로 해보죠. 8을 더하고 40을 더하면 432가 되네요. 이제 다 했습니다.