닮음 문제 심화

자 주어진 도형에서 우리는 선분의 길이를 구해내야 하는데 바로 이 선분 CF의 길이이고, 아마 여러분이 이미 추정을 하고 있을지도 모르지만 즉 이문제가 닮은꼴 삼각형과 연관되어 풀어져야 한다고 말이죠. 적어도 삼각형 CFE와 ABE는 닮아 보이고 삼각형이 그 안에 포함되어 있다는 직관을 가질 수 있을 겁니다. 그리고 삼각형 CFB가 보일텐데 삼각형 DEB와 닮은꼴로 보입니다. 그러나 다시한번 우리 스스로가 그것을 증명하고자 하고, 그리고 나서 우리는 크기 차이의 비율에 대한 것을 다룰 수 있게 되는데 바로 여기에 있는 CF와 연관된 것이고, 즉 정확하게 CF의 길이가 무엇이냐를 이해하는 것입니다. 자 먼저 우리 스스로 증명해 보고자 하는데 그것은 이것들이 명확하게 닮은꼴 삼각형들이라는 것입니다. 여기서 우리는 각 ABE가 직각인 것을 알고 있고 또한 CFE 역시 직각이라는 것을 알고 있습니다. 만약 우리가 한가지 다른 각을 증명할 수 있거나 또는 한쌍의 대응 각들이 서로 합동인 상태라는 점을 알게된다면 우리는 그것들이 닮은 꼴임을 증명하게 됩니다. 그리고 또한 우리는 보여 줄수 있게 되는데, 그것들이 모두, 그 닮은꼴 삼각형들이 이곳의 각을 공유하고 있다는 것입니다. 각 CEF는 각 AEB와 동일합니다. 그래서 우리는 이 두 각을 증명하였으며, 이 두개의 같은 각들은 이 삼각형들안에 있고, 이 각은 두 삼각형안에 있습니다. 그 각들은 합동이며, 그래서 이 두 삼각형들은 닮은꼴입니다. 여러분은 또한 이 선(CF)과 아마도 이 선(AB)은 평행이고 이유는 분명하게 이 두개의 각이 동일하기 때문이고, 그래서 이 각들은 또한 같은 각이 되는 것이고, 그래서 이 두 삼각형은 분명하게 닮은꼴 삼각형입니다. 자 여기에 이렇게 표시를 해봅니다, 좀 벗어난 곳에다요 우리는 삼각형 ABE, ABE는 삼각형 CFE와 닮은꼴이고, 여러분들은 바른 판단을 내일 수 있을 겁니다. F는 90도가 되는 각이고 B도 역시 90도가 되는 각이고 그리고 각 E는 오랜지색 각으로 표시하면 그래서 삼각형 CFE는 닮은꼴이 됩니다. 이제 우리가 동일한 정의를 증명할 수 있는지 봅시다 다른 방법으로 진행하면서 삼각형 DEB를 봅시다. 자 다시한번 90도 되는 각이 여기에 있고요 이것도 90도, 이것도 분명히 90도 일겁니다. 우리는 여기 CFB가 90도라는 것을 알고 있고 DEF나 DEB 역시 90도 라는 것을 알고 있습니다. (각E를) 어떻게 부르든 상관 없죠. 그들은 합동일 한쌍의 대응각을 가지고 있습니다. 그리고 여러분들은 보실 수 있을 겁니다, 그들이 여기 이 각을 공유하고 있다는 것을 (두줄로 표기한 각) 작은 삼각형에서, 다른 삼각형을 말하는 것이 아니라 바로 이 삼각형이고요 오른쪽에 있는 삼각형이 아닙니다 즉 그들은 오른쪽에 있는 이 각을 공유하고 있고 각 DBE는 각 CBF와 동일합니다 그래서 저는 이미 여러분에게 보여드렸듯이 우리가 이 각이 이 각과 합동이라는 것이었고 이 각은 두 삼각형의 공통 부분이라는 것이죠 그래서 분명하게 합동이라는 것을 말합니다. 자 우리는 두개의 일치하는 각들을 가지고 있고 그 각들은 서로가 합동입니다. 그래서 우리는 이곳의 큰 삼각형이 이 작은 삼각형과 닮은꼴이라는 점을 알게 되었습니다. 그래서 여기에 이렇게 표기를 할 수 있겠습니다 조금 오른쪽으로 이동을 시키고 우리는 삼각형 DEB가 비슷한 것으 삼각형 CFB와 닮은꼴 이라는 것을 알게 되었습니다. 자 여기서 우리는 무엇을 할 수 있을까요? 우리가 알고 있는 것은 맞은편의 비율이죠 각각의 닮은꼴 삼각형의 한쪽 변이고, 같은 모양인 닮은꼴 삼각형들이 가진 한 변입니다. 하지만 우리는 단지 삼각형의 한쪽 길이만 가지고 있습니다. 즉 삼각형 ABE와 CFE에서 한쪽 변 길이가 주어져 있고, 삼각형 DEB와 CFB의 경우도 여기 한쪽 길이만 보여지고 있지만 좀 더 작업할 것이 그리 많아 보이지는 않습니다. 이것이 왜 그렇게 큰 도전적인 문제로 보이지 않느냐 하면 한번 봅시다, 우리가 이 한 쪽의 길이를 가정해 봅시다 이쪽을 기준으로 봅시다 이 변의 길이를 기준으로 보기로 합시다 변 BE를 Y로 가정합시다 그러면 이곳에 이렇게 표기하면 되겠죠 이 전체의 길이가 Y와 같습니다. 적어도 이것은 우리에게 어떤 계산할 수 있는 식을 제공할 수 있습니다 그리고 Y는 삼각형 ABE와 DEB에 공유되어 있는 변입니다. 작은 삼각형들이 여기 있는데 이 작은 길이 BF를 X라고 부릅시다 그러면 FE는 긴 길이가 Y이고 짧은 길이가 X 이므로 FE는 Y-X이죠 좀 묶어보면 변수들을 여기에 좀 묶어서 소개해보면 이 모든 도형들의 비율에 대한 것일텐데 결국 문제들을 풀어 낼 것이으로 생각되고 적어도 우리는 좀 더 감을 가질 수 있을 겁니다 우리가 풀어야 할 이 실질적인 문제에 있어서 말이죠 하지만 지금은 실제로 문제를 살펴보기로 합시다 우리는 문제 풀이를 닮은꼴 삼각형에서 시작을 할 수 있습니다, 예를 들자면 우리는 변 CF길이가 얼마인지를 알고자 합니다 CF의 길이를 알고 싶은 거죠 우리는 이 두개의 삼각현을 알고 있는데 이 두개의 대응하는 면의 비유은 항상 일정합니다, 예를 들자면 CF와 9와의 비율 대응변들인 CF와 9와의 비율은(9분에 CF는) 이 두개의 비율과 같아야 하는데 둘중의 하나는 Y-X이고 바로 여기 Y-X이고 이 큰 삼각형의 대응하는 변 이 큰 삼각형의 대응하는 변이 이 전체 길이에 대응하는 Y사이의 비율과 같습니다. 즉 Y분에 Y-X와 같게 됩니다. (CF/9=Y-X/Y) 그래서 우리는 이것을 좀 더 단순화 할 수 있는데 잠시 보자면 오른쪽에 표시된 것 처럼 어떻게 정리할 수 있을지 봅시다 삼각형 CFE는 더이상 보지 말고 우리는 DE 분에 CF와 같다고 보이는 식을 X에 대응하는 길이로 표시를 해볼 수 있겠는데 어떤 분모에 대한 X로 표기하면 되냐하면 큰 삼각형 밑변 전체 길이인 BE인 Y와의 비율로 보면 됩니다. 자 좀 재미 있는데 우리는 미지수를 3개를 가지게 되었네요 실수네요 DE는 이미 알고 있는 수네요 다시 고쳐 쓰면 12 분의 CF로 표기할 수 있겠고 CF와 12사이의 비율이 X와 Y의 비율과 같게 되는 것입니다. 그래서 우리는 3개의 미지수와 3개의 방정식을 가지게 되었습니다. 처음에는 풀기 어렵게 느껴졌지만 이유는 1개의 미지수와 다른 미지수가 있었고 또다른 미지수와 또 다른 미지수들이 있었죠 하지만 지금은 여기에 이렇게 쓸수 있겠습니다 X와 Y로 표기되는 이 표기는 약간은 어려워 보이지만 우리는 식을 변환(대치)하였습니다. 자 우리는 CF에 대해서 다시 쓸 수가 있습니다 같은 녹색으로 푝하자면, 9분의 CF는 Y 분에 Y-X와 같고 Y분에 Y-X는 1 마이너스 Y분에 X와 같습니다. 제가 분명하게 한것 처럼, 여러분들도 Y분의 1로 분자,분모 양쪽에 적용해 보면 Y분에 Y 마이너스 Y분에 X, 즉 1마이너스 Y분에 X 가 됩니다. 그리고 이미 Y분에 X 값을 알고 있기에 평범한 문제가 되었습니다. X가 아니라 Y분에 X네요, 죄송함다^^ 우리는 이미 Y분에 X가 12분에 CF라는 것을 알고 있습니다. 그래서 여기에 저는 12분에 CF로 대체 할 수 있습니다. 자 이제 마지막 단계입니다. 우리가 풀려고 하는 CF 9분의 CF는 1 마이너스 12분의 CF와 같고 이제 우리는 미지수 하나에 방정식 하나를 가지게 되었네요 우리는 이제 여기서 이 문제를 풀 수 있게 되었습니다. 자 양편에 CF를 더해 보면 9분의 CF 더하기 12분의 CF는 1이 됩니다. 우리는 공약수를 찾아야 합니다. 제 생각에는 36이 될것 같고 9의 배수에는 4를 적용하면 4배의 CF 즉 4CF로 표기되고 36분의 4CF는 9분의 CF와 동일한 것이고 여기에 더하기를 12분의 CF는 36분의 3CF와 동일한 것이며 이 것들이 합의 1과 같게 됩니다. 그리고 나면 4CF 더하기 3CF는 7CF 즉 36분의 7CF가 되고 CF를 풀기 위해서 우리는 양쪽에 36분의 7을 역수를 곱합니다. 즉 7분의 36이죠, 그 것을 양쪽에 곱합니다. 이 쪽이 것은 약분이 되고 왼쪽엔 (CF)만 남고 마지막으로 CF는 이 모든 것들은 약분이 되어 없어지고 CF는 7분의 36이 되죠 자 이것은 꽤 재미있는 문제입니다. 왜냐하면 이 문제는 여러분에게 두가지를 보여 주어서 인데 한편으로는 (문제를 푸는 도구로서의) 창이나 막대기로 볼 수 있겠고 건물의 벽이으로 또는 그게 무엇인지 누가 알겠느냐마는 그 벽이 9피드, 9야드, 9미터 높라도 그리고 그것을 넘어서 다시 다른 12미터나 12야드의 벽이 있다고 하더라도 당신이 원하는 것이라면 무엇이든 이용하도록 하고 당신이 그러한 것들사이의 실마리를 연결하기를 원한다면 윗단에서 아래단 까지의 서로 다를 것들까지 그것들이 서로 얼마나 멀리 떨어져 있다고 하더라도 우리는 이들 두가지가 어느정도 떨어져 있다고 이야기를 해야 하는 것이다 그것들이 얼마나 분리되어 있던간에 그 두가지 실마리가 있는 곳은 7분의 36이 교차하는 곳일 것이다. 나는 얼마나 멀리 있냐에 상관하지 않고 7분의 5를 생각합니다. 그것은 꽤나, 제 생각에는 상당히 재미 있는 문제였습니다.